유클리드 원론 · 제2권 · 명제 13
증명하라.
어느 삼각형에서든 예각의 대변 위 정사각형은, 예각을 낀 두 변 위 정사각형들의 합보다 — 수선이 떨어지는 변과, 예각 쪽에서 수선의 발까지 안으로 잘린 직선이 만드는 직사각형의 두 배만큼 — 작다.
- 주어진 것
- 삼각형 ABC. B 의 각이 예각이다.
- 보여야 할 것
- A 에서 BC 에 내린 수선의 발을 D 라 할 때, AC 위 정사각형이 CB·BA 위 정사각형들의 합보다 CB·BD 직사각형 두 배만큼 작음을 보이는 것.
증명.
(1)A 에서 BC 에 수선 AD 를 내린다.I.12
(2)직선 CB 는 D 에서 잘려 있으므로, CB 위 정사각형과 BD 위 정사각형의 합은 CB·BD 직사각형 두 배와 DC 위 정사각형의 합과 같다.(1), II.7
(3)양쪽에 DA 위 정사각형을 더한다. 그러면 CB, BD, DA 위 정사각형들의 합은, CB·BD 직사각형 두 배와 DC, DA 위 정사각형들의 합과 같다.(2), 공통관념 2
(4)D 의 각은 직각이므로, BD 위 정사각형과 DA 위 정사각형의 합은 AB 위 정사각형이고, DC 위 정사각형과 DA 위 정사각형의 합은 AC 위 정사각형이다.(1), I.47
(5)그러므로 CB 위 정사각형과 AB 위 정사각형의 합은, AC 위 정사각형과 CB·BD 직사각형 두 배의 합과 같다 — AC 위 정사각형은 두 정사각형의 합보다 꼭 그만큼 작다.(3), (4), 공통관념 1
AC²CB² + AB²안으로 잘린 BD
이것이 보여야 했던 것이다.∎