관계에 이름을 붙이고, 증명이 시작된다

1을 3으로 나눠 보세요.

1 ÷ 3 = 0.3333……

끝이 안 나요. 그런데 1/3 은 분명히 분수잖아요. 분수인데 소수로 쓰면 안 끝나는 게 있다는 거예요.

어떤 분수는 끝나고 어떤 건 안 끝나요. 1/2 = 0.5, 1/4 = 0.25 는 끝나는데 1/3 은 안 끝나죠. 뭐가 다른지 보면 알 수 있지 않을까요.

소수점 아래가 유한하게 끝나면 유한소수, 끝없이 이어지면 무한소수예요. 무한소수 중에서 같은 숫자가 규칙적으로 반복되면 순환소수고, 그 반복되는 부분이 순환마디예요.

0.333……   순환마디 3
0.3636…… 순환마디 36

갈리는 이유는 분모에 있어요. 기약분수로 고쳤을 때 분모의 소인수가 2와 5뿐이면 유한소수, 그 외의 소인수가 있으면 순환소수가 돼요.

1/2, 1/4, 1/20 은 분모가 2와 5로만 되어 있죠. 1/3, 1/7 은 아니고요.

왜 2와 5냐면, 우리가 10진법을 쓰기 때문이에요. 소수로 딱 떨어지려면 분모를 10의 거듭제곱으로 만들 수 있어야 하는데, 10은 2 × 5 거든요.

거꾸로도 돼요. 순환소수는 반드시 분수로 쓸 수 있어요.

x = 0.3636…… 이라고 놓을게요. 순환마디가 두 자리니까 100을 곱해요.

100x = 36.3636……
  x  =  0.3636……

빼면 끝없는 부분이 사라져요.

99x = 36
 x  = 36/99 = 4/11

끝없는 걸 없애는 방법이 「같은 걸 빼기」예요.

그래서 유한소수도 순환소수도 전부 유리수예요. 분수로 쓸 수 있으니까요. 이게 중3에서 「그럼 분수로 못 쓰는 수도 있나?」로 이어져요.

중1에서 문자를 더하고 뺐어요. 3x + 2x = 5x 처럼요. 그럼 곱하는 건요? x² × x³ 는 얼마죠?

거듭제곱이 뭔지 다시 보면 돼요. 같은 걸 몇 번 곱했나를 적은 거잖아요. 그러면 세어 보면 되겠네요.

x² × x³ = (x·x) × (x·x·x) = x·x·x·x·x = x⁵

2개와 3개를 이어 붙이니 5개예요. 지수를 더하면 되는 거죠.

같은 식으로 나눗셈과 거듭제곱도 나와요.

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ          곱하면 지수를 더한다
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ          나누면 지수를 뺀다
(aᵐ)ⁿ  = aᵐⁿ            거듭제곱의 거듭제곱은 지수를 곱한다
(ab)ᵐ  = aᵐbᵐ

전부 「몇 개인지 세어 보면」 나와요. 외울 게 없어요.

이걸로 단항식의 곱셈·나눗셈을 해요.

3x² × 4x³ = 12x⁵        (숫자끼리, 문자끼리)

다항식은 동류항끼리 더하고 빼요. 차수가 2인 식이 이차식이에요.

(2x² + 3x) − (x² − x) = x² + 4x

분배법칙으로 괄호를 풀고 동류항으로 정리하는 게 전부예요. 중1에서 하던 걸 차수만 올린 거죠.

「예산이 5만 원이다. 한 개에 3천 원인 물건을 최대 몇 개 살 수 있나?」

이건 등식이 아니에요. 딱 맞아떨어지는 게 아니라 넘지 않으면 되는 거잖아요.

등호 대신 부등호를 쓰면 되겠죠. 그런데 방정식 풀 때 쓰던 등식의 성질이 부등식에서도 그대로 통할까요?

부등호로 나타낸 식이 부등식이에요.

3000x ≤ 50000

성질을 하나씩 확인해 봐요.

5 > 3 인데
양변에 2를 더하면    7 > 5      ✓ 그대로
양변에서 2를 빼면    3 > 1      ✓ 그대로
양변에 2를 곱하면   10 > 6      ✓ 그대로

여기까진 등식과 같아요. 그런데 음수를 곱하면요?

5 > 3 인데
양변에 (−1)을 곱하면   −5 ? −3

−5는 −3보다 작아요. 부등호가 뒤집혔어요.

수직선에서 보면 당연해요. 음수를 곱하는 건 0을 기준으로 뒤집는 거거든요. 왼쪽에 있던 게 오른쪽으로 가요. 순서가 반대가 되는 거죠.

부등식의 성질
① 양변에 같은 수를 더하거나 빼도  →  부등호 그대로
② 양변에 양수를 곱하거나 나눠도   →  부등호 그대로
③ 양변에 음수를 곱하거나 나누면   →  부등호가 뒤집힌다

정리해서 ax + b > 0 꼴이면 일차부등식이에요. 푸는 방법은 방정식과 같은데 ③만 조심하면 돼요.

−2x + 6 > 0
−2x > −6
 x < 3          ← 음수로 나눴으니 부등호 뒤집기

부등식을 참으로 만드는 값 전체가 해예요. 방정식은 해가 하나인데 부등식은 범위로 나와요.

처음 문제로 돌아가면

3000x ≤ 50000
x ≤ 16.66……

개수는 자연수니까 최대 16개예요.

「사과와 배를 합쳐 7개 샀다. 사과가 배보다 3개 많다.」 각각 몇 개일까요?

모르는 게 둘이에요. x 하나로는 안 되겠죠.

x와 y 둘을 쓰면 식이 나와요.

x + y = 7
x − y = 3

그런데 x + y = 7 하나만 보면 답이 무수히 많아요. (1,6) (2,5) (3,4)… 전부 되잖아요. 두 식을 동시에 만족하는 걸 찾아야 해요.

미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶은 것이 연립일차방정식이에요.

푸는 요령은 하나예요. 미지수를 하나 없애는 것. 하나만 남으면 중1에서 배운 일차방정식이 되니까요.

없애는 방법이 둘이에요.

가감법 — 두 식을 더하거나 빼서 없애요.

 x + y = 7
+x − y = 3
─────────
2x     = 10   →  x = 5

x=5 를 넣으면 y=2 예요.

대입법 — 한 식을 「y = …」 꼴로 바꿔 다른 식에 넣어요.

x − y = 3  →  y = x − 3
x + (x − 3) = 7  →  2x = 10  →  x = 5

어느 쪽이든 답은 같아요. 계수를 보고 편한 쪽을 고르면 돼요.

검산도 해요.

5 + 2 = 7  ✓        5 − 2 = 3  ✓

사과 5개, 배 2개예요. 미지수가 셋이면 식도 셋 필요해요. 모르는 개수만큼 식이 있어야 정해져요.

중1에서 좌표평면에 점을 찍었어요. x가 정해지면 y가 따라 정해지는 걸 봤죠. 그런데 우리는 그걸 계속 「관계」라고만 불렀어요. 이름이 없으면 다룰 수가 없어요.

어떤 관계에 이름을 붙일까요. 아무 관계나 말고, x 하나에 y가 딱 하나 정해지는 관계만 골라 보면 어떨까요. 그게 가장 다루기 쉬우니까요.

x가 정해지면 y가 오직 하나 정해지는 관계를 함수라고 해요. 이때 x에 대응하는 y의 값이 함숫값이고, y = f(x) 라고 써요.

중1의 정비례 y = ax 도 함수예요. x 하나에 y 하나가 정해지니까요.

정비례는 원점을 꼭 지나요. 그런데 출발점이 0이 아닌 경우도 많잖아요. 기본요금 1,000원에 1km마다 500원씩 붙는 택시요금 같은 거요.

y = 500x + 1000

이렇게 y = ax + b (a ≠ 0) 꼴로 쓸 수 있는 함수가 일차함수예요. 정비례는 b = 0 인 특별한 경우고요.

그래프를 보면 직선이 나와요. 두 값이 그 직선을 결정해요.

기울기 — x가 1 늘 때 y가 얼마나 느는지예요.

기울기 = (y의 증가량) / (x의 증가량) = a

두 점 (1,3), (3,7)을 지나면

기울기 = (7−3)/(3−1) = 2

y절편 — 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표, 그러니까 b 예요. x축과 만나는 점의 x좌표는 x절편이고요.

y = ax + b 는 y = ax 를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 거예요. 모양은 그대로고 위치만 옮긴 거죠.

기울기가 양수면 오른쪽 위로, 음수면 오른쪽 아래로 가요. 기울기 하나로 그래프의 방향이 정해져요.

2x + y = 4 는 미지수가 2개인 일차방정식이에요. 그런데 이걸 y = −2x + 4 로 고치면 일차함수가 되잖아요. 둘은 다른 건가요, 같은 건가요?

방정식의 해를 전부 좌표평면에 찍어 보면 알 수 있겠죠.

2x + y = 4 를 만족하는 (x, y)를 찍어 보면 (0,4) (1,2) (2,0)… 전부 한 직선 위에 놓여요.

미지수가 2개인 일차방정식의 해를 다 모으면 직선이 돼요. 그래서 이걸 직선의 방정식이라고도 불러요.

그러면 연립방정식은요? 식이 두 개니까 직선이 두 개죠. 두 식을 동시에 만족한다는 건 두 직선 위에 다 있다는 뜻이에요.

연립방정식의 해 = 두 직선의 교점이에요.

그러면 해의 개수도 그림으로 보여요.

두 직선이 한 점에서 만난다   →  해가 하나
두 직선이 평행하다           →  해가 없다
두 직선이 완전히 겹친다      →  해가 무수히 많다

계산으로 안 풀리는 연립방정식을 만나면 그려 보면 돼요. 평행하면 해가 없는 거예요. 계산이 이상한 게 아니고요.

이등변삼각형을 그려 보면 두 밑각이 같아 보여요. 그런데 「보인다」가 근거가 될까요? 그림을 잘못 그렸을 수도 있잖아요. 정말 항상 같은지 어떻게 알죠?

재는 걸로는 안 돼요. 백 개를 재도 백한 번째는 모르니까요. 이미 참이라고 인정한 것에서 따라 나온다는 걸 보여야 해요. 중1에서 맞꼭지각을 그렇게 했죠.

두 변의 길이가 같은 삼각형 ABC가 있어요. (AB = AC) 꼭지각 A를 이등분하는 선을 그어 밑변과 만나는 점을 D라고 할게요.

삼각형 ABD와 ACD를 보면

AB = AC        (주어진 조건)
∠BAD = ∠CAD   (이등분했으니까)
AD는 공통

두 변과 그 끼인각이 같아요. 중1에서 배운 SAS 합동조건이죠. 그러니 두 삼각형은 합동이고, 대응하는 각인 ∠B와 ∠C가 같아요.

「보이니까」가 아니라 「합동이니까」로 바뀌었어요.

같은 방식으로 여러 성질이 나와요.

직각삼각형은 합동조건이 하나 더 있어요. 직각이 이미 하나 같으니까요.

RHA   빗변과 한 예각이 같다
RHS   빗변과 다른 한 변이 같다

삼각형에는 특별한 점도 있어요. 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이 외심인데 세 꼭짓점에서 거리가 같아요. 세 각의 이등분선이 만나는 점이 내심이고 세 변에서 거리가 같고요.

사각형도 조건을 하나씩 얹으면 계보가 나와요.

사다리꼴      한 쌍의 대변이 평행
평행사변형    두 쌍의 대변이 평행
직사각형      평행사변형 + 네 각이 직각
마름모        평행사변형 + 네 변이 같음
정사각형      직사각형 + 마름모

평행사변형의 성질은 전부 삼각형 합동으로 증명돼요. 대각선을 그으면 삼각형 두 개가 생기는데, 엇각이 같아서 ASA로 합동이거든요. 그래서 두 쌍의 대변이 각각 같고, 두 쌍의 대각이 각각 같고, 대각선이 서로를 이등분해요.

「이 사각형이 평행사변형인가?」를 묻는 문제는 위 성질 중 하나만 확인하면 돼요. 거꾸로도 성립하거든요.

지도는 실제 땅과 모양은 같은데 크기가 달라요. 합동은 아니잖아요. 그런데 아무 관계가 없는 것도 아니고요. 이 관계를 뭐라고 부르죠?

합동은 「포개진다」였어요. 그러면 「늘리거나 줄이면 포개진다」는 관계를 따로 이름 붙이면 되겠네요.

한 도형을 일정한 비율로 확대하거나 축소해서 다른 도형과 합동이 되면 닮음이라고 해요. 그 비율이 닮음비고요.

닮은 도형에서는 대응하는 변의 길이의 비가 모두 같고, 대응하는 각의 크기는 모두 같아요.

합동조건과 닮은 꼴로 세 가지가 나와요.

SSS 닮음   세 쌍의 대응변의 비가 같다
SAS 닮음   두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각이 같다
AA  닮음   두 쌍의 대응각이 각각 같다

AA가 새로워요. 합동에서는 각만 같으면 크기가 안 정해졌는데, 닮음에서는 크기를 따지지 않으니까 각 두 개면 충분해요.

닮음비가 m : n 일 때 넓이와 부피는 어떻게 될까요.

넓이는 길이 × 길이예요. 가로도 m/n 배, 세로도 m/n 배가 되니까

넓이비 = m² : n²

부피는 길이 × 길이 × 길이 니까

부피비 = m³ : n³

닮음비가 2 : 3 이면 넓이비는 4 : 9, 부피비는 8 : 27 이에요.

평행선과 선분의 비도 닮음에서 나와요. 삼각형에서 한 변에 평행한 직선을 그으면 작은 삼각형이 생기는데, AA 닮음이라 변의 비가 같아요.

세 중선이 만나는 점이 무게중심인데, 각 중선을 2 : 1 로 나눠요. 이것도 닮음으로 증명돼요.

그림자로 나무 높이를 재는 게 이거예요. 막대와 그림자, 나무와 그림자가 AA 닮음이거든요.

직각삼각형에서 두 변을 알면 나머지 한 변을 알 수 있을까요? 각도를 재지 않고요.

길이끼리 더하거나 빼서는 안 나와요. 3 + 4 ≠ 5 니까요. 그런데 제곱해서 더하면 어떨까요.

3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

맞아떨어져요. 다른 직각삼각형에서도 해 보면 다 그래요.

왜 그런지 넓이로 볼게요.

한 변이 (a+b) 인 정사각형을 그리고, 각 변을 a와 b로 나눠서 안쪽에 직각삼각형 네 개를 배치해요. 가운데 남는 건 한 변이 c 인 정사각형이에요.

전체 넓이를 두 가지로 세요.

방법 1 — 큰 정사각형 그대로
(a + b)² = a² + 2ab + b²

방법 2 — 삼각형 4개 + 가운데 정사각형
4 × (½ab) + c² = 2ab + c²

같은 넓이니까

a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²

같은 것을 두 가지로 세면 등식이 나와요. 증명의 흔한 수법이에요.

직각삼각형에서   a² + b² = c²      (c는 빗변)

거꾸로도 성립해요. a² + b² = c² 이면 그 삼각형은 직각삼각형이에요.

중1에서 원뿔 모선을 구할 때 「중2에서 배운다」고 넘어갔던 게 이거예요. 밑면 반지름 3, 높이 4면 모선은 5죠. 좌표평면에서 두 점 사이의 거리도 이걸로 구해요.

동전 하나와 주사위 하나를 던져요. 나올 수 있는 결과가 몇 가지일까요? 하나하나 적어 보면 되는데, 동전 세 개에 주사위 두 개면요?

다 적는 건 답이 아니에요. 구조를 보고 계산으로 세야 해요.

어떤 사건이 일어날 수 있는 가짓수가 경우의 수예요.

동전은 2가지, 주사위는 6가지죠. 동전이 앞면일 때 주사위가 6가지, 뒷면일 때도 6가지. 그래서 2 × 6 = 12가지예요.

두 법칙이 나와요.

합의 법칙 — 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때는 더해요. 「주사위에서 2 이하 또는 5 이상」이면 2 + 2 = 4가지 예요.

곱의 법칙 — 두 사건이 잇따라 일어날 때는 곱해요. 동전과 주사위처럼요.

「또는」이면 더하고, 「그리고」면 곱해요.

잇따라 일어나면 가짓수가 계속 곱해져요.

동전 3개 × 주사위 2개 = 2 × 2 × 2 × 6 × 6 = 288가지

줄 세우기나 뽑기 문제도 전부 이 둘의 조합이에요.

주사위를 던져 짝수가 나올 가능성은 얼마나 될까요? 「반반쯤」이라고 말하면 얼마나 정확한 거죠?

경우의 수를 세면 되겠네요. 전체가 6가지고 짝수는 3가지니까 비율로 말하면 되지 않을까요.

어떤 사건이 일어날 가능성을 수로 나타낸 게 확률이에요.

확률 = (그 사건이 일어나는 경우의 수) / (모든 경우의 수)

주사위 짝수면 3/6 = 1/2 예요.

단, 모든 경우가 똑같이 일어날 것 같아야 이 계산이 맞아요. 찌그러진 주사위면 못 써요.

정의에서 바로 나오는 것들이 있어요.

0 ≤ (확률) ≤ 1
반드시 일어나는 사건의 확률 = 1
절대 일어나지 않는 사건의 확률 = 0

분자가 분모보다 클 수 없으니까 1을 넘지 못하는 거예요.

「어떤 사건이 일어나지 않을 확률」은 따로 세지 않아도 돼요. 일어나거나 안 일어나거나 둘 중 하나니까 합이 1이거든요.

P(A가 아님) = 1 − P(A)

「적어도 하나」가 나오는 문제는 이걸 써요. 직접 세면 경우가 많은데, 「하나도 안 나올 확률」을 빼면 금방이에요.

주사위를 두 번 던져 적어도 한 번 1이 나올 확률은

1 − (한 번도 안 나올 확률) = 1 − (5/6 × 5/6) = 11/36