지구본 위에 그리면 깨지는, 180°의 약속
아무렇게나 그린 삼각형의 세 각을 더하면, 매번 다른 값이 나올까?
삼각형의 세 각의 합은 언제나 180°
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 아무렇게나 그린 삼각형의 세 각을 더하면, 삼각형마다 다를까요?
세 각을 찢어 나란히 붙여보세요
삼각형을 고르고 '찢어 붙이기'를 누르세요. 세 각이 만드는 모양을 보세요.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
밭의 경계, 건물의 평면, 별 모양 장식. 곧은 변으로 둘러싸인 도형(다각형)은 인류가 가장 먼저 다룬 도형입니다. 그 각과 변 사이의 규칙이 필요했어요.
출발점은 놀랍도록 단순한 발견입니다. 어떤 삼각형이든 세 각을 찢어 붙이면 정확히 일직선이 돼요. 합이 180°로 고정되어 있습니다.
그리고 모든 다각형은 삼각형으로 쪼개집니다. 사각형은 2개, 오각형은 3개예요. 삼각형 하나의 법칙(180°)이 곱셈 한 번으로 모든 다각형의 법칙이 됩니다. 복잡한 것을 아는 조각으로 쪼개는 수학의 대표 전략이에요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“삼각형은 도형 세계의 원자다.”
모든 다각형은 삼각형으로 분해되고, 삼각형의 성질이 전체의 성질을 결정합니다. 소수가 수의 원자인 것과 같아요. 컴퓨터 그래픽이 모든 3D 모델을 삼각형 조각으로 그리는 이유이기도 합니다.
“180°는 측정이 아니라 논리다.”
천 번 재서 얻은 평균이 아니라, 평행선의 엇각으로 증명되는 필연입니다. '항상 그렇다'를 보장하는 것은 실험이 아니라 증명이에요. 기하가 논증의 학문이 되는 입구입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
큰 삼각형은 내각의 합도 크다.
크기와 모양에 상관없이 언제나 180°입니다. 각이 하나 커지면 다른 각이 그만큼 작아져요. 세 각은 180°라는 예산을 나눠 갖습니다.
다각형마다 내각의 합 공식을 따로 외워야 한다.
공식은 하나뿐입니다. 삼각형으로 쪼개기예요. n각형은 대각선으로 (n−2)개의 삼각형이 되므로 내각의 합은 (n−2)×180°입니다. 사각형 360°, 오각형 540°가 전부 여기서 나와요.
Formula
수식으로 정리하기
찢어 붙이기에서 발견한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 찢어 붙이기 실험과 짝지어 보기
= ×
삼각형 내각의 합
크기와 모양에 상관없는 삼각형의 법칙입니다. 두 각을 알면 나머지 한 각은 계산돼요.
n각형 내각의 합
n각형은 한 꼭짓점의 대각선으로 (n−2)개의 삼각형으로 쪼개집니다. 사각형 360°, 오각형 540°, 육각형 720°예요.
정다각형의 한 내각
내각의 합을 n으로 나눕니다. 정삼각형 60°, 정사각형 90°, 정육각형 120°예요. 벌집이 육각형인 이유의 절반이 이 120°입니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
벌집과 타일
바닥을 빈틈없이 덮으려면 한 점에 모인 각들의 합이 360°여야 합니다. 정삼각형(60°×6), 정사각형(90°×4), 정육각형(120°×3)만 가능해요. 벌이 육각형을 고른 기하학적 이유입니다.
3D 그래픽과 게임
게임 캐릭터와 영화 CG는 전부 수백만 개의 삼각형(폴리곤)으로 만들어집니다. '다각형은 삼각형으로 쪼개진다'가 그래픽 산업의 토대예요.
축구공의 비밀
전통 축구공은 정오각형 12개와 정육각형 20개로 만듭니다. 평면을 못 덮는 오각형(108°)이 끼어들며 둥근 곡면이 만들어져요. 각도가 입체를 빚습니다.
트러스 구조
다리와 철탑은 삼각형 격자로 지어집니다. 삼각형은 변의 길이가 정해지면 모양이 하나로 고정되는 유일한 다각형이거든요. 사각형은 찌그러집니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
손바닥만 한 삼각형과 운동장만 한 삼각형. 내각의 합은 어느 쪽이 클까요?
십각형(10각형)의 내각의 합은 몇 도일까요?
정육각형만으로 바닥을 빈틈없이 덮을 수 있는 이유는 무엇일까요?
정오각형의 한 내각은 몇 도일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
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Connection
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