수를 넓히고, 문자를 얻는다

24의 약수를 다 구해 보세요. 1부터 24까지 하나씩 나눠 보면 되죠. 그럼 360은요? 1부터 360까지 다 해 보실 건가요. 수가 커지면 이 방법은 감당이 안 돼요.

나누는 걸 반복하는 게 문제예요. 그러면 반대로 가 볼까요. 나누지 말고 곱해서 만들어 보는 거예요. 24를 만드는 재료가 뭔지 찾는 거죠.

24를 쪼개 볼게요.

24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3

여기서 멈춰요. 2와 3은 더 못 쪼개거든요. 이렇게 1보다 크면서 약수가 1과 자기 자신뿐인 수를 소수라고 해요. 소수가 아닌 1보다 큰 수는 합성수고요.

같은 수를 여러 번 곱할 땐 짧게 써요.

2 × 2 × 2 = 2³

아래 2가 밑, 위의 3이 지수, 이렇게 쓰는 걸 거듭제곱이라고 해요.

24 = 2³ × 3

이때 2와 3처럼 소수인 약수가 소인수, 이렇게 쪼개는 게 소인수분해예요.

그런데 쪼개는 길이 여러 개잖아요. 4×6에서 시작하면 다를까요?

24 = 4 × 6 = (2×2) × (2×3) = 2³ × 3
24 = 3 × 8 = 3 × (2×2×2)   = 2³ × 3

어디서 시작하든 결과가 같아요. 순서만 다르지 구성은 똑같죠. 이걸 소인수분해의 유일성이라고 해요. *(엄밀한 증명은 고등 이후예요.)*

여기서 1을 왜 소수에서 뺐는지 보여요. 1을 넣으면 24 = 1 × 2³ × 3 도 되고 1 × 1 × 2³ × 3 도 되거든요. 유일성이 깨져요. 그래서 1은 소수도 합성수도 아니에요.

이제 처음 문제로 돌아가요. 약수를 어떻게 셀까요.

180 = 2² × 3² × 5

약수를 만들려면 각 소인수를 몇 개 쓸지 고르면 돼요.

2는  0개·1개·2개  → 3가지
3은  0개·1개·2개  → 3가지
5는  0개·1개      → 2가지

독립적으로 고르니까 곱해요.

약수의 개수 = 3 × 3 × 2 = 18개

일반화하면

N = pᵃ × qᵇ × rᶜ  →  약수의 개수 = (a+1)(b+1)(c+1)

지수에 1을 더하는 이유가 「0개 쓰는 경우」예요. 외울 게 없죠.

360이면 2³ × 3² × 5 니까 4 × 3 × 2 = 24개. 360번 나눠 보지 않고 끝났어요.

가로 72cm, 세로 120cm인 종이를 정사각형으로 남김없이 자르려고 해요. 가장 큰 정사각형의 한 변은 몇 cm일까요?

72도 나누어떨어지고 120도 나누어떨어지는 수여야 하죠. 둘 다의 약수 중에서 가장 큰 것을 찾으면 돼요.

둘 다의 약수가 공약수, 그중 최대가 최대공약수예요. 반대로 둘 다의 배수가 공배수, 그중 최소가 최소공배수고요.

소인수분해해 놓으면 바로 보여요.

72  = 2³ × 3²
120 = 2³ × 3¹ × 5

공약수가 되려면 양쪽에 다 있는 소인수만 쓸 수 있고, 모자란 쪽 개수만큼만 쓸 수 있어요.

최대공약수 = 2³ × 3¹ = 24

공배수가 되려면 양쪽을 다 덮어야 하니까 많은 쪽 개수로 맞춰요.

최소공배수 = 2³ × 3² × 5 = 360

최대공약수가 1인 두 수는 서로소라고 해요.

재미있는 관계가 하나 나와요.

24 × 360 = 8,640
72 × 120 = 8,640

우연이 아니에요. 소인수 하나만 보면 알아요. 어떤 소인수가 두 수에서 지수 m, n 으로 나온다고 하면

최대공약수에는  작은 쪽  min(m, n)
최소공배수에는  큰 쪽    max(m, n)
더하면          min + max = m + n

작은 것과 큰 것을 더하면 원래 둘을 더한 것과 같아요. 모든 소인수에서 그러니까

(최대공약수) × (최소공배수) = (두 수의 곱)

정사각형 한 변은 24cm. 그리고 72와 120 주기로 도는 두 톱니바퀴가 다시 만나는 건 360번째예요.

3에서 5를 빼세요.

초등학교에서는 「뺄 수 없다」고 배웠어요. 그런데 이상하죠. 겨울에 영하 2도라고 하잖아요. 만 원을 빌리면 잔고가 마이너스가 되고요. 세상에는 분명히 있는데 수에는 없었던 거예요.

없으면 만들면 되잖아요. 0보다 작은 수를 인정하기로 하는 거예요.

0보다 큰 수를 양수, 작은 수를 음수라고 해요. 양의 정수, 0, 음의 정수를 합쳐 정수라고 하고요.

분수 꼴 b/a (a는 0이 아닌 정수)로 쓸 수 있는 수까지 넓히면 유리수예요. 정수도 유리수예요. 3 = 3/1 이니까요.

이걸 눈에 보이게 수직선을 그어요. 0을 놓고 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수. 오른쪽일수록 큰 수예요. 이게 대소 관계고요.

0까지의 거리만 보는 게 절댓값이에요. 방향은 안 봐요.

|+5| = 5      |−5| = 5      |0| = 0

거리니까 절댓값은 음수가 안 나와요. 그리고 음수끼리는 절댓값이 클수록 작은 수예요.

계산 규칙을 정리해요.

덧셈  부호 같으면 절댓값 더하고 그 부호
      부호 다르면 절댓값 빼고 큰 쪽 부호
뺄셈  빼는 수의 부호를 바꿔 더한다
곱셈·나눗셈   같은 부호 → +        다른 부호 → −

나눗셈은 역수를 곱하는 걸로 바꿔요. 곱해서 1이 되는 짝이죠.

3 − 5 = 3 + (−5) = −2

드디어 처음 문제가 풀렸어요.

마이너스에 마이너스를 곱하면 플러스라고 배워요. 왜죠? 빚에 빚을 곱하면 돈이 생기나요? 말이 안 되잖아요.

「말이 되게」 설명하려 하면 안 돼요. 이건 계산 규칙 문제거든요. 우리가 이미 인정한 규칙 중에 무너지면 안 되는 것이 뭔지 보면 돼요.

분배법칙이 그거예요. 괄호 앞의 수를 안쪽 모든 항에 나눠 곱하는 규칙이죠.

a × (b + c) = a×b + a×c

양수에서는 확실히 성립해요. 이게 음수에서도 계속 성립하기를 바란다고 해 볼게요.

그러면 이걸 계산할 수 있어요.

(−1) × (−1 + 1)

괄호 안이 0이니까 전체가 0이에요.

(−1) × 0 = 0

그런데 분배법칙으로 풀면

(−1)×(−1) + (−1)×(1) = 0
(−1)×(−1) + (−1)     = 0

양변에 1을 더하면

(−1)×(−1) = 1

같은 방법으로 이것도 나와요.

(−a) × b = −(ab)
(−a) × (−b) = ab

음수끼리 곱해서 양수가 되는 건 누가 정한 게 아니에요. 분배법칙을 지키려면 그럴 수밖에 없는 거예요.

여기서 제일 많이 틀리는 걸 짚고 갈게요.

(−2)² = (−2)×(−2) = 4
−2²   = −(2×2)    = −4

괄호가 있으면 −2를 두 번 곱하고, 없으면 2를 제곱한 뒤 마이너스를 붙여요. 시험에 정말 자주 나와요.

세로가 5인 직사각형이 있어요. 가로가 3이면 넓이 15, 4면 20, 7이면 35. 가로가 100이면요? 1000이면요? 매번 같은 계산을 숫자만 바꿔서 반복하게 돼요.

반복되는 건 계산이 아니라 모양이에요. 「가로 × 5」라는 모양은 늘 같죠. 그러면 가로 자리를 비워 두고 모양만 적어 두면 되지 않을까요.

그 빈자리에 이름을 붙여요. 그게 문자예요.

가로를 x 라 하면   넓이 = 5x

식 하나로 모든 경우가 끝났어요. x는 어려운 게 아니라 아직 정해지지 않은 수를 부르는 이름이에요.

쓰는 약속을 정해요.

3 × a → 3a      (곱셈 기호 생략, 숫자를 앞에)
a × b → ab      (알파벳 순서)
a ÷ b → a/b     (나눗셈은 분수로)
1 × a → a

전부 그냥 그렇게 쓰기로 한 약속이에요. 짧게 쓰려고요.

문자에 수를 넣는 게 대입, 그 결과가 식의 값이에요. 반드시 괄호를 씌워서 넣으세요.

x = −2 일 때   3x² − 2x + 1
= 3(−2)² − 2(−2) + 1
= 12 + 4 + 1 = 17

식의 부품에 이름을 붙여요.

3x + 2

3x 와 2 가 각각 항, 문자 앞의 3이 계수, 문자 없는 2 가 상수항, 문자가 곱해진 횟수가 차수예요. 차수가 1인 식이 일차식이고, 중1은 여기까지 다뤄요.

문자와 차수가 모두 같은 항이 동류항인데, 동류항끼리만 더할 수 있어요.

2(3x − 1) − 3(x + 2)
= 6x − 2 − 3x − 6
= 3x − 8

−3(x+2) 에서 뒤 항에도 마이너스를 곱해야 해요.

「어떤 수에 3을 더했더니 10이 됐다. 그 수는?」 계산은 앞으로 가는 건데, 이건 거꾸로 가야 해요.

모르는 수를 x로 두면 x + 3 = 10 이 돼요. 이제 x만 남기면 되는데, 등식을 함부로 건드리면 안 되잖아요. 건드려도 되는 방법이 뭔지 알아야 해요.

저울로 생각해요. 균형 잡힌 저울에서

① 양변에 같은 수를 더해도        균형 유지
② 양변에서 같은 수를 빼도         균형 유지
③ 양변에 같은 수를 곱해도         균형 유지
④ 양변을 0이 아닌 같은 수로 나눠도  균형 유지

이게 등식의 성질이에요. ④의 「0이 아닌」이 중요해요.

써 볼게요.

x + 3 = 10
x + 3 − 3 = 10 − 3      ← 성질 ②
x = 7

매번 이렇게 쓰긴 귀찮으니까 줄여서 「좌변의 +3을 우변으로 넘기면 −3이 된다」고 말해요. 그게 이항이에요.

이항은 새 규칙이 아니에요. 등식의 성질을 줄여 쓴 것뿐이에요. 부호가 바뀌는 이유가 빼서 넘겼기 때문인 거죠.

여기서 용어도 정리해요. 특정 값에서만 참인 등식이 방정식, 어떤 값에서도 참인 등식이 항등식, 참으로 만드는 값이 해예요.

정리하면 ax + b = 0 (a ≠ 0) 꼴이 일차방정식이에요. 풀면

ax = −b
x = −b/a

a가 0이면 안 되는 이유가 마지막 줄에 있어요. 0으로 못 나누니까요.

분수가 있으면 양변에 최소공배수를 곱해 없애고 시작해요.

(x−1)/2 − (x+2)/3 = 1
3(x−1) − 2(x+2) = 6        ← 양변 × 6
3x − 3 − 2x − 4 = 6
x = 13

우변의 1에도 6을 곱해야 해요. 여기가 최다 오답이에요. 검산은 3초예요. (13−1)/2 − (13+2)/3 = 6 − 5 = 1 ✓

문장제도 같아요. 모르는 걸 x로 놓고 등식 하나를 세우면 끝이에요.

거리 = 속력 × 시간
소금 = 농도 × 소금물
총액 = 단가 × 개수

x=1이면 y=2, x=2면 y=4, x=3이면 y=6. 표로 적어도 한눈에 안 들어와요. 규칙이 있는지도 잘 안 보이고요.

숫자를 그림으로 바꿔 보면 어떨까요. 그런데 수 하나는 수직선에 찍으면 되는데, 수 두 개를 한 번에 찍으려면 자리가 부족해요.

수직선을 하나 더 그어요. 직각으로요.

- 가로가 x축, 세로가 y축, 둘을 합쳐 좌표축 - 만나는 점이 원점 - 짝지어 묶은 (x, y) 가 순서쌍, 그게 점의 좌표

순서가 바뀌면 다른 점이에요. (2,4) 와 (4,2) 는 달라요.

축이 평면을 넷으로 나눠요. 오른쪽 위부터 반시계로 제1~제4 사분면이에요.

제1 (+,+)   제2 (−,+)   제3 (−,−)   제4 (+,−)

축 위의 점은 어느 사분면에도 안 들어가요. 점을 이어 놓은 게 그래프고요.

여기가 중1에서 가장 중요한 장면일 수 있어요. 수 이야기와 도형 이야기가 여기서 처음 만나거든요.

자주 나오는 관계 둘을 식으로 굳혀요.

x가 2배면 y도 2배가 되는 게 정비례예요.

y = ax        양변을 x로 나누면   y/x = a  (일정)

원점을 지나는 직선이 나와요.

x가 2배면 y가 절반이 되는 게 반비례고요.

y = a/x       양변에 x를 곱하면   xy = a  (일정)

원점을 지나지 않는 곡선 두 갈래가 나와요. x가 0이면 나눌 수 없으니까요.

y가 x에 반비례하고 x=4일 때 y=3 이면 xy=12. 그러니까 x=6 이면 y=2 예요. 표를 안 그려도 나와요.

좌표평면에서 도형을 봤어요. 그런데 생각해 보면 우리는 도형이 뭔지 말한 적이 없어요. 점이 뭐죠? 선은요?

점을 설명하려면 다른 말이 필요하고, 그 말을 설명하려면 또 필요하고, 끝이 안 나요. 그러면 어떻게 해야 하죠?

어딘가에서 멈추기로 해요. 점과 선과 면은 정의하지 않아요. 그냥 있다고 치고 시작해요. 수학은 그 멈추는 자리를 맨 밑바닥에 두기로 한 거예요.

그 위에 하나씩 얹어요.

선과 선이 만나면  교점        면과 면이 만나면  교선
양쪽으로 뻗으면   직선        한쪽으로만       반직선
양 끝이 있으면    선분

두 반직선이 벌어진 정도가 각이에요.

평각 180°   직각 90°   예각 0°~90°   둔각 90°~180°

두 직선이 직각으로 만나면 수직, 점에서 직선에 수직으로 내린 선이 닿는 점이 수선의 발이에요. 아무리 늘려도 안 만나면 평행, 공간에서 만나지도 평행하지도 않으면 꼬인 위치고요. 꼬인 위치는 평면에서 안 생겨요.

두 직선이 만나면 마주 보는 각이 두 쌍 생겨요. 그게 맞꼭지각인데 항상 같아요. 눈으로 봐서가 아니라 따져서 나와요.

네 각을 ∠a, ∠b, ∠c, ∠d 라 하고 ∠a 와 ∠c 가 마주 본다고 할게요.

∠a + ∠b = 180°     ① (한 직선 위)
∠b + ∠c = 180°     ② (한 직선 위)

우변이 같으니 좌변도 같아요.

∠a + ∠b = ∠b + ∠c
∠a = ∠c

중1에서 하는 첫 증명이에요.

두 직선을 다른 직선이 가로지를 때, 같은 위치의 각이 동위각, 엇갈린 위치가 엇각이에요. 두 직선이 평행할 때만 같아요. 평행 조건을 빼먹는 게 최다 오답이에요.

친구에게 전화로 삼각형을 설명해서 똑같이 그리게 하려고 해요. 뭘 알려 줘야 할까요? 세 변? 세 각? 다 알려 줘야 하나요?

「가장 적게 알려 주고도 하나로 정해지는」 조건을 찾는 거예요. 그러려면 재지 않고 정확히 그리는 방법부터 있어야 해요.

눈금 없는 자와 컴퍼스만 쓰는 게 작도예요. 기본이 둘이에요 — 길이가 같은 선분 옮기기, 크기가 같은 각 옮기기. 이 둘을 조합하면 삼각형을 그릴 수 있어요.

해 보면 세 가지에서 삼각형이 하나로 정해져요.

① 세 변의 길이
② 두 변과 그 끼인각
③ 한 변과 그 양 끝 각

두 변과 끼이지 않은 각을 주면 안 돼요. 삼각형이 두 개 나오거든요. 컴퍼스를 돌리면 원이 직선과 두 점에서 만나는 게 보여요.

포개지는 두 도형이 합동, 겹치는 요소끼리 대응한다고 해요. 삼각형의 합동조건은 위 셋과 같아요.

SSS   세 변이 각각 같다
SAS   두 변과 그 끼인각이 각각 같다
ASA   한 변과 그 양 끝 각이 각각 같다

결정조건과 합동조건이 같은 게 우연이 아니에요. 하나로 정해진다는 건, 같은 조건이면 같은 삼각형이라는 뜻이니까요.

전화로는 세 변만 불러 주면 돼요. 여섯 개(세 변·세 각) 다 알려 줄 필요가 없어요.

오각형 내각을 다 더하면 몇 도일까요? 각도기로 다섯 번 재서 더하실 건가요. 십각형이면 열 번이고요.

이미 아는 걸로 바꿔 보면 어떨까요. 삼각형 내각의 합이 180°인 건 알잖아요. *(평행선을 그어 엇각으로 옮기면 평각이 되는 게 그 증명이에요.)*

오각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어요. 삼각형 세 개로 쪼개져요.

오각형 내각의 합 = 180° × 3 = 540°

용어를 정리하면 — 선분으로 둘러싸인 도형이 다각형, 변과 각이 모두 같으면 정다각형, 이웃하지 않은 꼭짓점을 이으면 대각선, 안쪽 각이 내각, 변을 연장해 생기는 바깥 각이 외각이에요.

n각형이면 한 꼭짓점에서 그은 대각선이 삼각형 n − 2개를 만들어요.

n각형 내각의 합 = 180° × (n − 2)

외각도 구해요. 각 꼭짓점에서 내각과 외각을 더하면 평각이니까

(내각 + 외각) × n = 180°n
외각의 합 = 180°n − 180°(n−2) = 360°

n이 사라졌어요. 몇 각형이든 외각의 합은 항상 360°예요. *(둘레를 한 바퀴 걸으면 결국 한 바퀴 돈 거니까요.)*

정다각형은 각이 다 같으니 나누기만 하면 돼요.

정n각형의 한 내각 = 180°(n−2) / n

정십각형 한 내각은 180×8/10 = 144°. 각도기 없이 나왔어요.

피자 한 판을 다 안 먹고 한 조각만 먹었어요. 그 조각의 넓이는요? 테두리 길이는요?

조각은 원의 일부잖아요. 그러면 전체에서 얼마를 차지하는지만 알면 되지 않을까요.

먼저 이름부터 붙여요.

원 위 두 점 사이의 곡선   호
두 점을 곧게 이은 선분     현
호와 현으로 둘러싸인 부분  활꼴
두 반지름과 호로 둘러싸인 부분  부채꼴
그 두 반지름이 이루는 각   중심각

원의 둘레와 지름의 비가 원주율 π 고요.

원의 둘레 = 2πr        원의 넓이 = πr²

중심각이 두 배면 호도 두 배, 넓이도 두 배예요. 정비례하거든요. 그러니까 중심각이 차지하는 비율만 곱하면 돼요.

호의 길이   ℓ = 2πr × (x/360)
부채꼴 넓이 S = πr² × (x/360)

반지름 6, 중심각 60°면 ℓ = 2π, S = 6π 예요.

그런데 두 식을 나란히 놓으면 더 짧은 게 나와요.

S = πr² × (x/360)
  = (1/2) × r × [2πr × (x/360)]
  = (1/2) ℓ r

S = ½ ℓ r

삼각형 넓이 공식과 똑같이 생겼죠. 부채꼴을 아주 잘게 쪼개면 밑변이 호, 높이가 반지름인 삼각형에 가까워지거든요.

중심각을 몰라도 호의 길이만 알면 넓이가 나와요. 이게 곧 원뿔에서 다시 쓰여요.

상자를 포장하려면 종이가 얼마나 필요할까요? 안에는 얼마나 담길까요? 겉과 속은 다른 질문이에요.

겉은 펼쳐서 더하면 되고, 속은 밑면을 쌓아 올린다고 보면 돼요.

먼저 입체를 분류해요.

다각형 면으로만 둘러싸이면 다면체예요.

각기둥   위아래가 합동인 다각형
각뿔     한 점으로 모임
각뿔대   각뿔의 위를 잘라낸 것

평면도형을 직선 둘레로 돌려 만들면 회전체, 그 직선이 회전축이에요. 원기둥·원뿔·원뿔대·구가 여기 들어가요. 회전축에 수직인 단면은 언제나 원이에요. 원뿔에서 꼭짓점과 밑면 둘레를 잇는 선분이 모선이고요.

모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면 수가 같으면 정다면체예요. 왜 다섯 개뿐인지 세어 볼게요.

한 꼭짓점에 면이 셋 이상 모여야 하고, 모인 각의 합이 360°보다 작아야 솟아올라요.

정삼각형(60°)   3개 180° · 4개 240° · 5개 300°  →  가능
                6개면 360°  →  평평해짐        ✗
정사각형(90°)   3개 270°                        →  가능
                4개면 360°                      ✗
정오각형(108°)  3개 324°                        →  가능
                4개면 432°                      ✗
정육각형(120°)  3개면 이미 360°                 ✗

3 + 1 + 1 = 다섯 개예요. 여섯 번째는 만들 수가 없어요.

기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이)
뿔의 부피   = (1/3) × (밑넓이) × (높이)
구의 부피   = (4/3) π r³
구의 겉넓이 = 4 π r²

뿔이 기둥의 3분의 1인 건 밑면·높이가 같은 뿔에 물을 채워 기둥에 부으면 세 번에 차는 걸로 확인해요. *(엄밀한 증명은 고등 이후예요.)*

원뿔 옆넓이는 아까 부채꼴에서 이어져요. 옆면을 펼치면 부채꼴이 되거든요.

그 부채꼴의 반지름  = 원뿔의 모선 l
그 부채꼴의 호      = 밑면의 둘레 2πr

옆넓이 = ½ × (2πr) × l = πrl

옆넓이에 높이가 아니라 모선이 들어가는 이유가 이거예요. 펼치면 모선이 반지름이 되거든요. 높이는 펴지지 않아요.

밑면 반지름 3, 모선 5인 원뿔이면

옆넓이 = π×3×5 = 15π
겉넓이 = 15π + π×3² = 24π

그리고 반지름 3인 구는 부피도 36π, 겉넓이도 36π 예요. 단위가 다르니 같은 건 아니고, 반지름 3에서만 우연히 그래요.

반 서른 명의 키를 다 쟀어요. 숫자가 서른 개죠. 「우리 반 키가 어때?」라고 물으면 서른 개를 다 읽어 줄 순 없잖아요.

하나의 수로 줄여야 해요. 그런데 어떻게 줄이는 게 공평할까요.

자료 하나하나를 변량이라고 하고, 전체를 대표하는 값을 대푯값이라고 해요. 줄이는 방법이 셋이에요.

평균    다 더해서 개수로 나눈 값
중앙값  크기 순으로 늘어놓았을 때 가운데 값
최빈값  가장 많이 나온 값

자료 2, 3, 3, 7, 10 이면 평균 5, 중앙값 3, 최빈값 3이에요.

셋이 왜 다 필요할까요. 약점이 서로 다르거든요.

평균은 극단값 하나에 크게 흔들려요. 한 명이 유난히 크면 확 올라가죠. 중앙값은 줄만 세우면 되니까 극단값에 잘 안 흔들려요. 최빈값은 개수가 궁금할 때 좋고요. 신발 사이즈 같은 거요.

평균 = (변량의 총합) ÷ (변량의 개수)

중앙값은 반드시 정렬한 뒤에 고르고, 개수가 짝수면 가운데 두 값의 평균으로 해요. 정렬을 안 하고 고르는 게 최다 오답이에요.

연봉 이야기에서 평균과 중앙값이 크게 벌어지죠. 어느 쪽을 쓰느냐가 곧 주장이 돼요.

하나로 줄이면 편한데, 정보가 사라져요. 평균만 알면 「고르게 있는지, 양쪽으로 갈렸는지」를 알 수 없잖아요.

다 보여 주면 복잡하고, 하나로 줄이면 사라져요. 중간이 필요해요. 몇 덩어리로 묶어 보면 어떨까요.

가장 간단한 게 줄기와 잎 그림이에요. 십의 자리를 줄기로 세우고 일의 자리를 잎으로 붙여요. 원래 값을 하나도 안 잃으면서 모양이 보여요.

더 줄이려면 구간으로 나눠요.

나눈 구간          계급
구간의 가운데 값    계급값
구간에 든 자료 수   도수

이걸 표로 만든 게 도수분포표예요.

그림으로 그리면 더 잘 보여요. 계급을 가로, 도수를 세로로 막대를 그리면 히스토그램, 막대 윗변 가운데를 이으면 도수분포다각형이에요.

흩어져 있던 숫자가 모양이 됐어요.

도수분포표만 남고 원자료를 잃었을 때 평균을 구해야 하면, 한 계급의 값들이 계급값 근처에 고르게 있다고 보고 계산해요.

평균 = Σ(계급값 × 도수) ÷ (도수의 총합)

계급값을 쓰는 이유가 이거예요. 구간을 대표할 하나가 필요한데 가운데가 가장 공평하니까요. 그래서 이건 근삿값이에요.

반마다 인원이 다르면 도수를 그냥 비교할 수 없죠. 그래서 비율로 바꿔요.

상대도수 = (그 계급의 도수) ÷ (도수의 총합)

다 더하면

Σ 상대도수 = (도수의 총합) ÷ (도수의 총합) = 1

분자를 다 더하면 분모가 되니까 항상 1이에요.

30명 반과 40명 반을 상대도수로 바꾸면 바로 비교돼요. 백분율로 보고 싶으면 100을 곱하면 되고요.