위에서 보면 원, 앞에서 보면 삼각형. 이 물건은 무엇일까요?
입체는 평면이 움직인 흔적이다. 그리고 어떤 다면체든 V−E+F는 언제나 2다.
Experiment
직접 만져보기
🔮 예측 먼저 — 위에서 보면 원, 앞에서 보면 삼각형. 이 물건은 무엇일까요?
🌀 평면도형을 골라 축 둘레로 돌려보세요
도형을 고르고 슬라이더를 끝까지 밀어보세요. 지나간 자리가 흔적으로 남습니다.
슬라이더를 밀면 도형이 축 둘레를 돌기 시작합니다.
📖 더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
우리가 사는 세계는 평면이 아니라 입체입니다. 컵, 캔, 축구공, 피라미드까지 전부요. 그런데 종이와 화면에 그릴 수 있는 것은 평면뿐이에요. 그래서 평면의 언어로 입체를 읽는 방법이 필요했습니다.
열쇠는 움직임입니다. 직사각형을 위로 곧게 쌓으면 기둥이 되고, 한 점으로 모으면 뿔이 되고, 축 둘레로 돌리면 회전체가 됩니다. 입체는 평면이 움직인 흔적이에요. 이 눈으로 보면 낯선 입체도 아는 평면도형으로 풀립니다.
그리고 250년 전, 수학자 오일러가 놀라운 규칙을 찾았습니다. 어떤 다면체든 꼭짓점 수에서 모서리 수를 빼고 면 수를 더하면 언제나 2가 나와요. 모양이 아무리 달라도 변하지 않는 값. 이 하나의 숫자가 입체 세계 전체를 묶는 규칙이 되었습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“입체는 평면이 움직인 흔적이다.”
원기둥과 원뿔을 외울 필요가 없습니다. 직사각형과 직각삼각형이 도는 모습을 한 번 보면, 두 입체의 모든 성질이 평면도형에서 따라 나와요. 쌓으면 기둥, 모으면 뿔, 돌리면 회전체입니다.
“모양은 달라도 V−E+F는 언제나 2다.”
삼각기둥도, 팔각뿔도, 축구공도 이 검산을 통과합니다. 수학은 서로 달라 보이는 것들 속에서 변하지 않는 하나를 찾는 학문이에요. 오일러 공식이 그 대표 사례입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
구도 아주 작은 면이 아주 많이 모인 다면체다.
다면체의 면은 평평해야 합니다. 구는 어디를 만져도 평평한 곳이 없어요. 면 0개, 모서리 0개, 꼭짓점 0개인 구는 다면체가 아니라 반원을 돌려 만든 회전체 가족입니다. 컴퓨터가 구를 수많은 조각으로 흉내 내도, 흉내는 진짜 구가 되지 않아요.
기둥과 뿔은 완전히 다른 가족이다.
같은 밑면에서 태어난 형제입니다. 밑면을 위로 곧게 쌓으면 기둥, 한 점으로 모으면 뿔이에요. 부품 수도 나란히 갑니다. n각기둥은 모서리가 3n개, n각뿔은 2n개. 그리고 둘 다 V−E+F=2라는 같은 규칙을 지킵니다.
Formula
수식으로 정리하기
2단계에서 표를 채우며 발견한 규칙을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
🔬 공식 해부 — 2단계 표에서 세었던 것들과 짝지어 보기
− + =
오일러 공식
어떤 다면체든 성립하는 규칙입니다. 축구공도 60 − 90 + 32 = 2로 통과해요. 다면체 세계의 지문입니다.
n각기둥의 부품 수
꼭짓점은 아래위로 n개씩, 모서리는 밑면·윗면·옆 기둥 세 묶음, 면은 옆면 n개에 밑면과 윗면을 더한 것. 검산하면 2n − 3n + (n+2) = 2가 됩니다.
n각뿔의 부품 수
밑면의 n개에 꼭대기 한 점이 더해집니다. 검산하면 (n+1) − 2n + (n+1) = 2. 기둥과 다른 공식이지만 같은 규칙을 지켜요.
회전체 삼형제
평면도형을 축 둘레로 한 바퀴 돌린 흔적이 회전체입니다. 회전체의 단면은 축에 수직으로 자르면 언제나 원이에요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
축구공의 오각형 12개
축구공은 오각형 12장과 육각형 20장으로 만듭니다. 멋을 위해서가 아니에요. V−E+F=2를 지키려면 육각형만으로는 공이 닫히지 않고, 오각형이 정확히 12장 필요하다는 것이 수학으로 증명됩니다.
음료수 캔
같은 양을 담을 때 재료가 가장 적게 드는 모양에 가까우면서도, 세울 수 있고 쌓을 수 있는 모양이 원기둥입니다. 공장에서는 옆면 전개도인 직사각형 철판을 둥글게 말아 만들어요.
피라미드
사각뿔은 아래가 넓고 위로 갈수록 가벼워져 무게가 바닥으로 모입니다. 접착제 없이 돌을 쌓아 4,500년을 버틴 비결이 뿔의 모양 그 자체예요.
3D 게임과 영화
컴퓨터는 곡면을 직접 그리지 못해서 모든 입체를 작은 다면체 조각으로 흉내 냅니다. 캐릭터의 얼굴도 수만 개의 면과 모서리와 꼭짓점이에요. 그 그물에서도 오일러 공식이 검산 도구로 쓰입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
육각기둥의 모서리는 모두 몇 개일까요?
오각뿔의 면은 모두 몇 개일까요?
축구공은 오각형 12장과 육각형 20장으로 만든 다면체입니다. 이 공의 V−E+F는 얼마일까요?
직각삼각형을 직각을 낀 한 변을 축으로 한 바퀴 돌리면 무엇이 될까요?
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