매듭 열두 개짜리 밧줄로 완벽한 직각을 만든 사람들
직각삼각형의 두 변을 알면 나머지 한 변은 재보지 않아도 알 수 있다. 어떻게?
넓이의 보존 법칙, 피타고라스 정리
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 직각을 낀 두 변이 3과 4인 직각삼각형. 빗변의 길이는?
삼각형을 골라 넓이를 재보세요
세 변 위에 지은 정사각형의 넓이를 비교합니다. 두 작은 넓이의 합과 큰 넓이는?
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = c² → c = 5 — 자연수 세 쌍! 🪢
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
이집트의 측량사들은 나일강 범람 후 밭의 직각을 되살려야 했습니다. 매듭 12개짜리 밧줄을 3-4-5로 당기면 직각이 나와요. 정리가 증명되기 1,000년 전부터 쓰인 실전 기술입니다.
그리스인들은 '왜 하필 3-4-5인가'를 물었고, 답은 넓이에 있었습니다. 직각을 낀 두 변 위 정사각형의 넓이 합이 빗변 위 정사각형과 같아요. 우연이 아니라 직각의 본질이었습니다.
이 정리가 곧 거리 재는 법이 됐습니다. 좌표평면의 두 점 사이 거리, 벡터의 크기, GPS의 위치 계산까지, 현대의 모든 거리 공식이 a²+b²=c²의 후손이에요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“피타고라스 정리는 길이가 아니라 넓이의 정리다.”
a²는 변 a 위에 지은 정사각형의 넓이입니다. 제곱 기호를 넓이 그림으로 되돌리는 순간, 400개가 넘는 증명이 전부 넓이 퍼즐 맞추기였음이 보여요.
“이 정리는 인류가 가장 많이 증명한 정리다.”
유클리드의 증명, 넓이 재배열 증명, 아인슈타인이 12살에 만든 닮음 증명, 미국 대통령 가필드의 사다리꼴 증명까지 400가지가 넘습니다. 진리는 여러 문으로 들어갈 수 있어요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
a+b=c. 두 변의 길이를 더하면 빗변이다.
더해지는 것은 길이가 아니라 넓이입니다. 3+4=7이지만 빗변은 5예요. 3²+4²=25=5²입니다. 길이의 덧셈이 아니라 제곱(정사각형 넓이)의 덧셈이라는 점이 이 정리의 전부예요.
피타고라스 정리는 아무 삼각형에서나 성립한다.
직각일 때만 등호가 성립합니다. 예각이면 a²+b² > c², 둔각이면 a²+b² < c²예요. 오히려 이 부등호 덕분에 세 변만 보고 직각 여부를 판정할 수 있습니다(정리의 역).
Formula
수식으로 정리하기
넓이 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 세 정사각형 실험과 짝지어 보기
+ =
피타고라스 정리
직각을 낀 두 변 위 정사각형 넓이의 합이 빗변 위 정사각형 넓이와 같습니다. 직각일 때만 성립하는 등식이에요.
거리 공식 (정리의 현대적 옷)
좌표평면의 두 점을 잇는 선분을 빗변으로 보면, 가로 차와 세로 차가 두 변입니다. 거리 공식은 피타고라스 그 자체예요.
정리의 역
세 변만 재서 직각을 판정할 수 있습니다. 각도기 없이 밧줄만으로 직각을 세운 고대 측량술의 원리예요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
GPS와 내비게이션
위성과 수신기 사이 거리, 지도 위 두 지점의 직선거리는 전부 거리 공식, 즉 3차원 피타고라스(a²+b²+c²=d²)로 계산됩니다.
게임의 충돌 판정
두 캐릭터가 부딪혔는지는 중심 사이 거리로 판정합니다. 매 프레임 수천 번 실행되는 √(Δx²+Δy²)예요. 게임 엔진 속에서 피타고라스가 초당 수만 번 일합니다.
건축과 목공의 직각 내기
기초 공사에서 3-4-5 (또는 6-8-10) 줄자 삼각형으로 직각을 확인하는 것은 지금도 현장의 표준 기술입니다.
TV·모니터의 인치
'55인치'는 화면의 대각선 길이입니다. 가로세로 16:9와 피타고라스만 있으면 실제 폭과 높이를 거꾸로 계산할 수 있어요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
직각을 낀 두 변이 3과 4인 직각삼각형의 빗변은 얼마일까요?
직각을 낀 두 변이 5와 12인 직각삼각형의 빗변은 얼마일까요?
세 변이 6, 8, 11인 삼각형은 어떤 삼각형일까요?
좌표 위 두 점 (1, 1)과 (4, 5) 사이의 직선거리는 얼마일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
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