PROOF 56
증명하라.
a² + b² = c²
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
삼각형 ABC 에서 ∠C = 90° 라 하고, a = BC, b = CA, c = AB 로 둔다. ∠A, ∠B 는 각각 그 꼭짓점의 내각을 뜻한다.
증명.
(1)직각을 낀 두 변을 a, b 라 하고 직각의 대변을 c 라 한다.약속
(2)∠A 의 대변은 a 이고 ∠B 의 대변은 b 이다.(1), 약속
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보조정리 L1
∠A + ∠B = 90° 이고, ∠A 와 ∠B 는 모두 예각이다.
증명.
(1)∠A + ∠B + ∠C = 180°A2
(2)∠C = 90° 이고 180° = 90° + 90°D1, 약속
(3)(∠A + ∠B) + 90° = 90° + 90°(1), (2), A20, E
(4)∠A + ∠B = 90°(3), A21
(5)∠B > 0 이므로 ∠A < 90° 이고, ∠A > 0 이므로 ∠B < 90° 이다.(4), A10
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보조정리 L2
한 변이 a + b 인 정사각형 안에 삼각형 ABC 와 합동인 삼각형 넷을 배치 I 로 놓으면 (a+b)² = 2ab + c²
증명.
(1)한 변이 a + b 인 정사각형 PQRS 가 존재한다.A3
(2)변 PQ, QR, RS, SP 위에 PE = a, QF = a, RG = a, SH = a 인 점 E, F, G, H 를 잡는다.(1), 약속
(3)EQ = FR = GS = HP = b(1), (2), A15
(4)정사각형의 각은 직각이므로 삼각형 PEH 는 P 에서 직각이고 두 직각변은 PE = a, PH = b 이다.(1), (2), (3), 약속
(5)삼각형 EQF, FRG, GSH 도 각각 Q, R, S 에서 직각이고 두 직각변이 a 와 b 이다.(2), (3), (4)
(6)네 삼각형은 두 변과 낀 각이 삼각형 ABC 와 같으므로 모두 ABC 와 합동이다.(4), (5), D1, A5
(7)대응변이 같으므로 EH = FE = GF = HG = c(6), A5
(8)대응각이 같으므로 ∠PEH = ∠B 이고 ∠FEQ = ∠A 이다.(6), D1, A5
(9)P, E, Q 는 한 직선 위에 있으므로 ∠PEH + ∠HEF + ∠FEQ = 180°(2), A9
(10)∠A + ∠B = 90° 이고 180° = 90° + 90° 이므로 ∠HEF = 90°(8), (9), L1, A19, A20, A21, 약속
(11)F, G, H 에서 같은 논증을 하면 사각형 EFGH 의 네 각이 모두 직각이다.(5), (9), (10), L1, A5, A9
(12)네 변이 c 이고 네 각이 직각이므로 EFGH 는 한 변이 c 인 정사각형이다.(7), (11), 약속
(13)정사각형 PQRS 는 네 삼각형과 EFGH 로 겹치지 않게 나뉜다.(2), (12), 약속
(14)네 삼각형의 넓이의 합은 ab/2 를 넷 더한 것, 즉 2ab 이다.(6), A8, A6, A18
(15)(a+b)² = 2ab + c²(12), (13), (14), A6, A7
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보조정리 L3
같은 정사각형 안에 같은 삼각형 넷을 배치 II 로 놓으면 (a+b)² = 2ab + a² + b²
증명.
(1)한 변이 a + b 인 정사각형 PQRS 를 다시 잡는다.A3
(2)변 PQ 위에 PU = a 인 점 U 를, 변 PS 위에 PW = a 인 점 W 를 잡는다.(1), 약속
(3)UQ = b 이고 WS = b(1), (2), A15
(4)U 를 지나 PS 에 평행한 직선과 W 를 지나 PQ 에 평행한 직선은 각각 오직 하나이며, 두 직선은 한 점 Z 에서 만난다.(2), A1
(5)두 직선은 정사각형을 네 조각으로 나눈다. 각 조각은 마주보는 두 쌍의 변이 평행하고 네 각이 직각인 사각형이다.(1), (4), 약속
(6)마주보는 변의 길이가 같으므로 네 조각의 이웃변은 각각 (a, a), (b, a), (a, b), (b, b) 이다.(2), (3), (5), A4
(7)그러므로 조각은 한 변이 a 인 정사각형 하나, 한 변이 b 인 정사각형 하나, 이웃변이 a 와 b 인 직사각형 둘이다.(6), 약속
(8)두 직사각형에 각각 대각선을 그으면 각 직사각형은 직각변이 a, b 인 직각삼각형 둘로 나뉜다.(7), 약속
(9)이 넷은 두 변과 낀 각이 같으므로 삼각형 ABC 와 합동이다. 배치 I 에 쓴 것과 같은 넷이다.(8), D1, A5
(10)네 삼각형의 넓이의 합은 2ab 이다.(8), A8, A6, A18
(11)(a+b)² = a² + b² + 2ab(1), (7), (8), (10), A6, A7
(12)(a+b)² = 2ab + a² + b²(11), A19, A20
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정리 T1
직각삼각형 ABC 에서 a² + b² = c² (넓이에 의한 증명)
증명.
(1)(a+b)² = 2ab + c²L2
(2)(a+b)² = 2ab + (a² + b²)L3, A20
(3)2ab + c² = 2ab + (a² + b²)(1), (2), E
(4)c² + 2ab = (a² + b²) + 2ab(3), A19
(5)c² = a² + b², 즉 a² + b² = c²(4), A21, E
(6)배치 II 의 식은 곱셈공식 (a+b)² = a² + 2ab + b² 와 항의 순서만 다르다. 넓이의 분할과 대수의 전개가 같은 것이다.L3, A17, A19, A20
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정리 T2
직각삼각형 ABC 에서 a² + b² = c² (넓이를 쓰지 않는 두 번째 증명)
증명.
(1)∠A 와 ∠B 는 예각이다.L1
(2)C 에서 직선 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 그러한 H 는 유일하게 존재한다.A13
(3)H 는 A 와 B 사이에 있으므로 AH + HB = AB = c(1), (2), A14, A15, D1
(4)삼각형 AHC 와 삼각형 ACB 에서 ∠A 는 공통이고 ∠AHC = ∠ACB = 90°(2), D1
(5)두 각이 각각 같으므로 삼각형 AHC 와 삼각형 ACB 는 닮음이다.(4), A11
(6)대응변의 비가 같으므로 AH : AC = AC : AB(5), A12
(7)AC = b > 0, AB = c > 0 이므로 AH × c = b²(6), A16, A22, D1
(8)삼각형 BHC 와 삼각형 BCA 에서 ∠B 는 공통이고 ∠BHC = ∠BCA = 90°(2), D1
(9)같은 논증으로 두 삼각형은 닮음이고 BH : BC = BC : BA(8), A11, A12
(10)BC = a > 0, BA = c > 0 이므로 BH × c = a²(9), A16, A22, D1
(11)a² + b² = BH × c + AH × c = (BH + AH) × c(7), (10), A18, A19
(12)BH + AH = AH + HB = c(3), A19
(13)a² + b² = c × c = c²(11), (12), E, 약속
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비고
A1 은 이 두 증명에서 제거할 수 있는가.
두 증명은 서로 다른 재료를 쓴다. 하나는 넓이를, 다른 하나는 닮음을 쓴다. 두 길이 어디서 만나는지 확인하라.