PROOF 196
증명하라.
평행선 공리 없이 피타고라스는 없다
유클리드 평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
삼각형 ABC 에서 ∠C = 90° 라 하고, a = BC, b = CA, c = AB 로 둔다.
증명.
(1)직각을 낀 두 변이 a, b 이고 직각의 대변이 c 다.약속
(2)직선 t 가 두 직선을 자를 때, t 의 서로 반대쪽 반평면에 놓인 두 각을 엇각이라 한다.약속
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보조정리 L1
직선 t 가 평행한 두 직선 ℓ, m 을 자르면 엇각은 같다.
증명.
(1)t 가 ℓ 을 P 에서, m 을 Q 에서 자르고 ℓ ∥ m 이라 하자.가정
(2)P 에서의 엇각을 α, Q 에서의 엇각을 β 라 한다.D1
(3)Q 를 지나 t 와 이루는 엇각이 α 인 직선 m′ 이 유일하게 존재한다.(2), A3
(4)엇각이 같으므로 m′ ∥ ℓ(3), A2
(5)Q 를 지나 ℓ 에 평행한 직선은 하나뿐이므로 m′ = m(1), (4), A1
(6)그러므로 β = α(3), (5), A3
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정리 T1
삼각형의 세 내각의 합은 180° 다.
증명.
(1)꼭짓점 A 를 지나 직선 BC 에 평행한 직선 ℓ 이 유일하게 존재한다.A1
(2)ℓ 위에 A 를 사이에 두는 두 점 D, E 를 잡으면, A 에서의 평각은 ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = 180° 으로 나뉜다. 배치의 상세는 증명 49 와 같다.(1), A4, A5
(3)∠DAB 와 ∠ABC 는 직선 AB 가 평행선 ℓ, BC 와 이루는 엇각이므로 ∠DAB = ∠ABC(1), (2), D1, L1
(4)∠CAE 와 ∠BCA 는 직선 AC 가 이루는 엇각이므로 ∠CAE = ∠BCA(1), (2), D1, L1
(5)∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°(2), (3), (4), E
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정리 T2
두 삼각형에서 두 각이 각각 같으면 셋째 각도 같고, 그러므로 두 삼각형은 닮음이다.
증명.
(1)∠A = ∠A′ 이고 ∠B = ∠B′ 이라 하자.가정
(2)∠A + ∠B + ∠C = 180° 이고 ∠A′ + ∠B′ + ∠C′ = 180°T1
(3)(∠A + ∠B) + ∠C = (∠A′ + ∠B′) + ∠C′(2), A12, E
(4)∠A + ∠B = ∠A′ + ∠B′(1), E
(5)∠C = ∠C′(3), (4), A13, E
(6)세 각이 각각 같으므로 대응변의 비가 같다. 셋째 각을 채워 준 것은 내각의 합이다.(1), (5), A6
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정리 T3
직각삼각형 ABC 에서 a² + b² = c²
증명.
(1)(∠A + ∠B) + 90° = 90° + 90° 이므로 ∠A + ∠B = 90°T1, D1, A12, A13, E, 약속
(2)∠B > 0 이므로 ∠A < 90° 이고, ∠A > 0 이므로 ∠B < 90° 다. 두 각은 예각이다.(1), A14
(3)C 에서 직선 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 한다.A7
(4)H 는 A 와 B 사이에 있으므로 AH + HB = AB = c. AH = x, HB = y 로 둔다.(2), (3), A8, A9, D1
(5)삼각형 AHC 와 삼각형 ACB 에서 ∠A 는 공통이고 ∠AHC = ∠ACB = 90°(3), D1
(6)두 각이 각각 같으므로 두 삼각형은 닮음이고 AH : AC = AC : AB, 즉 x/b = b/c(5), T2, D1
(7)b > 0, c > 0 이므로 b² = c · x(6), A10, A12, A15
(8)삼각형 BHC 와 삼각형 BCA 에서 ∠B 는 공통이고 ∠BHC = ∠BCA = 90° 이므로, 같은 논증으로 a² = c · y(3), D1, T2, A10, A12, A15
(9)a² + b² = c·y + c·x = c(y + x)(7), (8), A11, E
(10)y + x = x + y = c 이므로 a² + b² = c · c = c²(4), (9), A12, E
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진술 C
제5공준이 성립하지 않는 평면에서는 a² + b² = c² 가 성립하지 않는다.
(1)등식은 T1 → T2 → T3 사슬의 끝에서 얻었고, 사슬의 첫 고리는 A1 이다.T1, T2, T3
(2)A1 을 부정한 평면에서 등식이 성립하지 않는다는 것은 여기서 증명하지 않고 진술로 둔다. 그 평면의 사정은 증명 59 가 다룬다.약속
증명 생략.
비고
A1 은 이 사슬에서 제거할 수 있는가.
세 정리의 어느 진술에도 평행선은 보이지 않는다. 각 정리가 무엇을 인용하는지 첫 고리까지 거슬러 올라가 보라.