PROOF 21
증명하라.
두 점 사이의 거리
좌표평면 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
두 점 P, Q 사이의 거리 d(P, Q) 는 두 점을 잇는 선분 PQ 의 길이다.
증명.
(1)P = (x₁, y₁), Q = (x₂, y₂) 로 둔다.약속
(2)거리는 좌표로 정의되지 않는다. 좌표는 그 길이를 재는 데 쓰인다.약속
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보조정리 L1
모든 실수 t 에 대하여 √(t²) = |t|
증명.
(1)0 ≤ t² + 0² = t² + 0 = t²A6, A8
(2)s² = t² 인 s ≥ 0 이 유일하게 존재하며, 그것을 √(t²) 라 쓴다.(1), A7
(3)|t| ≥ 0 이고 |t|² = t²A4
(4)|t| 는 (2) 의 조건을 만족하므로 √(t²) = |t|(2), (3)
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정리 T1
x₁ ≠ x₂ 이고 y₁ ≠ y₂ 이면 d(P, Q) = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
증명.
(1)R = (x₂, y₁) 로 둔다.약속
(2)P 와 R 은 y좌표가 같으므로 PR 은 가로 선분이고 PR = |x₂−x₁|A3
(3)R 과 Q 는 x좌표가 같으므로 RQ 는 세로 선분이고 RQ = |y₂−y₁|A3
(4)두 선분은 수직이므로 삼각형 PRQ 는 R 에서 직각이고 빗변은 PQ 이다.(2), (3), A2
(5)PQ² = PR² + RQ²(4), A1
(6)PQ² = |x₂−x₁|² + |y₂−y₁|² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²(5), (2), (3), A4
(7)0 ≤ (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²A6
(8)s² = (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² 인 s ≥ 0 은 유일하다.(7), A7
(9)PQ ≥ 0 이므로 PQ 가 그 s 이다.(6), (8), A5
(10)d(P, Q) = PQ = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)(9), D1
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따름정리 C
모든 두 점 P, Q 에 대하여 d(P, Q) = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
증명.
(1)x₁ ≠ x₂ 이고 y₁ ≠ y₂ 인 경우는 T1 이다.T1
(2)y₁ = y₂ 라 하자.가정
(3)PQ 는 가로 선분이므로 그 길이는 |x₂−x₁| 이다.(2), A3
(4)y₂ − y₁ = 0 이고 0² = 0(2), A8
(5)√((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) = √((x₂−x₁)²) = |x₂−x₁|(4), A8, L1
(6)d(P, Q) = |x₂−x₁| 이므로 두 값은 같다.(3), (5), D1
(7)x₁ = x₂ 인 경우도 세로 선분으로 같은 방법으로 성립한다.A3, A8, L1, D1
(8)모든 경우에 식이 성립한다.(1), (6), (7)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
좌표가 직접 주는 길이는 무엇인지 확인하라. 비스듬한 선분과 축에 평행한 선분은 같은 근거를 쓰지 않는다.