대수와 기하, 두 세계를 잇는 다리
영화관에서 친구에게 내 자리를 알리려면 숫자 몇 개면 충분할까?
숫자 두 개면 평면의 모든 자리, 좌표
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 영화관에서 친구에게 내 자리를 알리려면 숫자 몇 개면 충분할까요?
좌석을 찾아 앉아보세요
라운드 1/3 · 친구의 문자: "나 (가로 3, 세로 2)에 있어!" — 그 자리를 탭하세요.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
'창가에서 세 번째, 앞에서 두 번째'처럼 위치를 말로 설명하는 것은 길고 애매합니다. 숫자로 위치를 찍는 약속이 필요했어요.
해법은 기준선 두 개(가로축과 세로축)를 긋는 것입니다. 가로로 몇 칸, 세로로 몇 칸인지를 순서쌍 (x, y)로 적어요. 침대에 누워 천장의 파리 위치를 고민하던 데카르트의 발명이라 전해집니다.
이 발명의 진짜 위력은 도형과 식의 결혼입니다. 점이 수가 되니 직선은 방정식(y=2x+1)이 되고, 도형 문제가 계산 문제로 바뀌어요. 기하와 대수가 한 몸이 됐습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“좌표는 위치의 주소다.”
이름 없는 점들에게 (3, 2)라는 주소를 발급하는 순간, '어디'라는 질문에 수로 답할 수 있습니다. 지도의 위도와 경도, 화면의 픽셀이 전부 같은 발명의 후손이에요.
“데카르트의 다리 위에서 기하와 대수가 만난다.”
좌표 이전에는 도형의 수학과 수의 수학이 서로 다른 대륙이었습니다. 좌표평면이라는 다리가 놓이자 원은 x²+y²=r²이 됐어요. 이후의 함수 그래프와 미적분이 전부 이 다리 위에서 벌어집니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
(2, 3)과 (3, 2)는 같은 점이다.
다른 점입니다. 첫 번째 수는 가로(x), 두 번째 수는 세로(y)로 역할이 정해져 있어요. 그래서 '순서쌍'이라 부릅니다. 3열 2번과 2열 3번이 다른 자리인 것과 같아요.
좌표는 1부터 시작한다. (좌석 번호처럼)
좌표의 기준은 원점 (0,0)이고, 왼쪽과 아래는 음수입니다. 좌석표는 평면의 한 구석(제1사분면)만 쓰는 셈이에요. 음수 덕분에 평면 전체가 수의 영토가 됩니다.
Formula
수식으로 정리하기
좌석 찾기에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 좌석 찾기 게임과 짝지어 보기
= (, )
순서쌍
첫째 수는 가로축, 둘째 수는 세로축입니다. 역할이 정해져 있어 (2,3)과 (3,2)는 다른 점이에요.
원점과 사분면
두 축이 만나는 기준점입니다. 축을 기준으로 평면이 네 구역(사분면)으로 나뉘고, 왼쪽과 아래는 음수 좌표가 돼요.
두 점 사이의 거리 (예고)
위치가 수가 되면 거리도 계산이 됩니다. 피타고라스 정리가 좌표 위에서 거리 공식으로 다시 태어나요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
지도와 GPS
위도와 경도가 바로 지구 표면의 좌표입니다. '북위 37.5°, 동경 127°'라는 순서쌍 하나가 서울을 찍어요.
화면의 픽셀
지금 보는 화면의 모든 점은 (x, y) 픽셀 좌표를 갖습니다. 게임 캐릭터의 이동, 마우스 클릭 위치가 전부 좌표 계산이에요.
체스와 바둑
체스의 e4, 바둑의 16의 4처럼 판 위의 위치를 문자와 숫자 쌍으로 적는 기보가 좌표의 오랜 사촌입니다.
데이터 시각화
산점도의 점 하나하나가 (공부시간, 성적) 같은 순서쌍입니다. 통계의 상관관계 분석이 좌표평면 위에서 이루어져요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
(2, 3)과 (3, 2)는 어떤 관계일까요?
점 (−3, −5)는 어느 사분면에 있을까요?
점 (5, −2)에서 x축까지의 거리는 얼마일까요?
점 (0, 4)는 어디에 있을까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
개념은 이어진다
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