한때 '있을 수 없는 수'라 거부당했던 수
3℃에서 기온이 5℃ 내려갔다. 지금 몇 도일까? (3 − 5의 답은?)
0 아래로 이어지며 방향이 생긴 수, 음수
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 지금 3℃인데 기온이 5℃ 내려간다면? 3 − 5의 답은?
온도계를 움직여보세요
3℃에서 시작합니다. 0 아래로 내려가면 무슨 일이 벌어질까요?
3℃
지금 온도
수의 세계에서 음수는 어디쯤일까?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 네 번의 위기와 확장, 수의 확장 실험실에서 전체 지도를 받아 보세요.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
자연수와 분수만으로는 '3에서 5를 빼라'에 답이 없었습니다. 그런데 세상에는 답이 필요한 상황이 많았어요. 영하의 추위, 지하층, 갚아야 할 빚 같은 것들이요.
해법은 0에서 멈추던 수직선을 왼쪽으로 늘리는 것이었습니다. 0보다 1 작은 수를 −1, 2 작은 수를 −2라고 부르면 3 − 5 = −2가 돼요. 모든 뺄셈에 답이 생깁니다.
덤으로 수가 방향을 갖게 됐습니다. +는 오른쪽, −는 왼쪽이에요. 온도, 지하층, 통장 잔고처럼 기준점 양쪽으로 펼쳐진 세계를 하나의 수로 담게 됐습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“음수의 핵심은 크기가 아니라 방향이다.”
−3은 '3만큼, 반대쪽으로'라는 뜻입니다. 수에 방향이 실리는 순간 뺄셈은 반대 방향으로 가기가 돼요. 이 생각이 나중에 벡터로 자랍니다.
“0은 끝이 아니라 한가운데다.”
음수를 받아들이면 0의 자리가 바뀝니다. 수직선의 왼쪽 끝이 아니라 중심이 돼요. 기준점 양쪽을 보는 이 눈이 좌표와 그래프의 출발점입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
−5는 −2보다 크다. 5가 2보다 크니까.
수직선에서 −5는 −2보다 왼쪽에 있으니 더 작습니다. 영하 5도가 영하 2도보다 춥잖아요. 음수에서는 붙은 숫자가 클수록 오히려 작은 수입니다.
음수 곱하기 음수가 양수인 것은 그냥 외우는 규칙이다.
(−1)을 곱하는 것은 방향 뒤집기입니다. 한 번 뒤집으면 반대쪽, 두 번 뒤집으면 제자리예요. 거울을 두 번 비추면 원래 모습이 되는 것과 같습니다.
Formula
수식으로 정리하기
온도계 실험에서 확인한 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 화살표 뒤집기 실험과 짝지어 보기
× =
음수의 정의
0보다 n만큼 작은 수가 −n입니다. 수직선을 왼쪽으로 늘리면 모든 뺄셈에 답이 생겨요.
크기 비교
수직선에서 왼쪽일수록 작습니다. 영하 5도가 영하 2도보다 추운 것과 같아요.
부호의 곱셈
×(−1)은 방향 뒤집기입니다. 두 번 뒤집으면 제자리예요. 암기가 아니라 뒤집기의 논리입니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
날씨와 온도
영하 12℃는 −12℃입니다. 일기예보의 겨울 숫자가 음수예요. '어제보다 7도 떨어짐' 같은 변화도 −7로 적습니다.
통장 잔고와 빚
잔고 −50,000원은 5만원을 갚아야 한다는 뜻입니다. 회계에서 손해를 뜻하는 적자(赤字)는 음수를 빨간색으로 쓰던 관습에서 온 말이에요.
엘리베이터와 해발
지하 3층은 B3, 즉 −3층입니다. 해저 200m는 해발 −200m예요. 기준 아래를 세는 언어가 음수입니다.
스포츠 기록
골프의 −7(언더파)은 기준 타수보다 7타 적다는 뜻입니다. 골프에서는 음수가 좋은 성적이에요. 축구의 골득실 −2도 같은 문법입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
−4와 −9 중 어느 쪽이 큰 수일까요?
기온 2℃에서 7℃ 내려가면 몇 도가 될까요?
(−2) × (−3)은 얼마일까요?
(−1)을 5번 곱한 수의 부호는 무엇일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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Connection
개념은 이어진다
다음 개념으로 연결
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