기본요금 4,800원에 1km마다 800원 — 12km 요금을 미리 알 수 있을까?
일차함수는 일정한 속도로 변하는 관계다. 기울기는 변화의 속도, 절편은 출발점이다.
Why
왜 필요한가
택시 요금, 휴대폰 요금제, 렌터카 비용 — '기본요금 + 사용량 × 단가' 구조는 우리 주변 계약의 절반을 차지한다.
이 구조의 특징은 '일정함'이다. 1km를 더 가면 언제나 정확히 800원이 더 나온다. 어디서 출발했든, 변화의 속도가 항상 같다.
이 일정한 변화를 y = ax + b 한 줄로 압축한 것이 일차함수다. a(기울기)와 b(절편) 두 수만 알면 무한한 경우를 전부 예측할 수 있다.
Experiment
직접 만져보기
이렇게 실험해보세요
- 1기울기 슬라이더만 움직여보세요. 직선이 어떻게 변하나요? 이번엔 절편만 움직여보세요.
- 2두 요금제의 교차점(손익분기점)을 찾아보세요. 그 지점 전후로 유리한 쪽이 바뀝니다.
- 3'12km 요금'을 먼저 암산으로 예측한 뒤, 그래프 위에서 확인해보세요.
🚕 요금제 A(청록)를 조종해 요금제 B(회색 점선)와 비교해보세요
요금제 A 식
y = 800x + 4,800
요금제 B 식 (고정)
y = 300x + 12,000
손익분기점
약 14.4km
주황 점이 손익분기점 — 그 왼쪽에서는 A가, 오른쪽에서는 B가 유리합니다. 짧은 거리는 절편이, 긴 거리는 기울기가 승부를 정합니다.
기울기를 0으로 만들어보세요
km당 요금을 최저(100)로 두고 기본요금만 잔뜩 올리면, 거의 수평한 직선이 됩니다 — 아무리 가도 요금이 거의 안 변하는 ‘무제한 요금제’의 구조입니다. 반대로 기본요금 0에 기울기만 크면 ‘종량제’. 세상 요금제의 성격은 a와 b 두 수로 요약됩니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“기울기는 미분의 씨앗이다.”
일차함수의 기울기는 'x가 1 커질 때 y가 얼마나 변하는가'다. 이 질문을 곡선의 한 점에서 묻기 시작하면 그것이 곧 미분이다. 일차함수를 이해하면 미분의 절반을 이해한 것이다.
“세상의 계약서는 대부분 직선이다.”
기본료+단가 구조가 많은 이유는 계산과 예측이 쉽기 때문이다. 직선은 인간이 다루기 가장 편한 관계다 — 그래서 복잡한 곡선도 일단 직선으로 근사하고 본다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
기울기가 크면 y값도 크다.
기울기는 '빠르기'지 '크기'가 아니다. 기본요금이 비싸고 단가가 싼 요금제(절편↑ 기울기↓)는 처음엔 y가 더 크지만, 언젠가 역전당한다 — 교차점 이후의 승자는 기울기가 결정한다.
직선의 방정식은 그래프 문제에서만 쓰인다.
환율 계산, 요금제 선택, 예산 계획, 그리고 머신러닝의 선형회귀까지 — '일정한 비율의 변화'가 있는 모든 곳에서 일차함수가 실제 판단 도구로 쓰인다.
Formula
수식으로 정리하기
요금제 실험에서 조작한 두 슬라이더가 곧 일차함수의 전부입니다.
일차함수의 표준형
a는 기울기(1km당 요금), b는 y절편(기본요금). 두 수가 직선 하나를 완전히 결정한다.
기울기의 정의
어느 두 점을 골라도 이 비율이 같다 — 그것이 '일정한 변화'의 수학적 표현이다.
교차점 (손익분기점)
두 요금제가 같아지는 지점. 실험에서 두 직선이 만나던 그 점을 방정식으로 구한 것이다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
요금제 선택
기본료 높고 단가 싼 요금제 vs 그 반대 — 내 사용량이 교차점보다 많은지 하나만 확인하면 된다.
환율과 수수료
환전 금액 = 환율 × 외화 + 수수료. 고정 수수료(절편)와 환율(기울기)의 전형적인 일차 구조다.
감가상각
정액법 감가상각은 '매년 같은 금액씩 하락' — 기울기가 음수인 일차함수다.
머신러닝의 출발점
선형회귀는 데이터에 가장 잘 맞는 a와 b를 찾는 문제다. AI의 첫걸음이 일차함수 위에 서 있다.
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