던진 돌이 포물선을 그린다는 걸 처음 밝혀낸 갈릴레오
던진 공은 왜 하필 그 모양의 곡선을 그리며 날아갈까?
변화율 자체가 일정하게 변하는 관계, 이차함수
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 같은 힘으로 던질 때, 몇 도로 던져야 가장 멀리 날아갈까요?
각도를 조절해 공을 던져보세요 (높이 2m에서, 같은 힘으로)
날아간 거리
21.3m
최고 높이 (꼭짓점)
7.9m
내 최고 기록
-
주황 점이 꼭짓점입니다. 곡선은 꼭짓점을 기준으로 좌우 대칭이에요.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
일차함수의 세계에서는 변화가 항상 일정했습니다. 하지만 던진 공은 달라요. 올라갈수록 느려지고, 정점을 지나면 점점 빨라지며 떨어집니다.
속도가 '일정하게 변하는' 운동입니다. 중력이 매 순간 같은 힘으로 잡아당기기 때문이에요. 이 구조를 담는 가장 단순한 함수가 x²이 들어간 이차함수입니다.
그리고 이차함수의 진짜 보물은 꼭짓점이에요. 가장 높은 점, 가장 싼 지점, 가장 큰 이익처럼 '최적'을 묻는 인류의 질문이 처음으로 답을 얻는 곳입니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“이차함수는 '변화의 변화'를 담는 첫 번째 그릇이다.”
일차함수는 변화가 일정한 세계이고, 이차함수는 변화율이 일정하게 변하는 세계입니다. 속도가 아니라 가속도가 일정한 운동이에요. 중력 아래의 모든 궤적이 포물선인 이유입니다.
“꼭짓점에서는 잠시 모든 것이 멈춘다.”
공이 정점을 지나는 순간, 위아래 속도는 정확히 0입니다. '변화가 0이 되는 지점에 최대가 있다'는 이 관찰이 훗날 미분으로 최적화를 푸는 열쇠가 돼요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
45도로 던지면 항상 가장 멀리 간다.
공기 저항이 없고 같은 높이에서 던질 때만 45°가 최적입니다. 던지는 높이가 착지점보다 높으면(농구 슛, 포환던지기) 최적각은 45°보다 작아져요. 모델의 가정을 확인하는 것이 수학적 사고입니다.
포물선의 꼭짓점은 그래프 문제를 위한 개념이다.
꼭짓점은 '최적화'의 원형입니다. 가격을 얼마로 할 때 이익이 최대인가, 언제 매출이 꺾이는가처럼 이차함수로 모델링되는 모든 문제의 답이 꼭짓점에 있어요.
Formula
수식으로 정리하기
슛 실험에서 본 곡선을 수식으로 정리하면, 조작했던 것들의 정체가 드러납니다.
공식 해부 — 농구 슛 실험과 짝지어 보기
y = + +
이차함수의 일반형
a의 부호가 곡선의 방향(∪/∩)을, a의 크기가 폭을, c가 y절편(출발 높이)을 정합니다.
꼭짓점의 위치
최대와 최소가 일어나는 지점입니다. 대칭축이기도 해요. 올라간 시간과 내려온 시간이 같은 이유입니다.
포물선 운동
던진 공의 높이입니다. −(1/2)gt²이 중력의 몫, v₀t가 던진 속도의 몫, h₀가 출발 높이예요. 물리와 수학이 같은 식을 씁니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
스포츠의 궤적
농구 슛, 골프 샷, 포물선 패스처럼 공중에 뜬 모든 공은 이차함수를 그립니다. 선수의 감각은 사실 포물선 계산이에요.
가격 결정
가격을 올리면 개당 이익은 늘지만 판매량이 줍니다. 이익 곡선은 ∩ 모양이에요. 최적 가격이 꼭짓점에 있습니다.
다리와 건축
현수교 케이블과 아치교처럼 힘을 고르게 나누는 곡선이 포물선이라서, 구조물 설계의 기본 곡선이 됐습니다.
제동 거리
브레이크를 밟은 뒤 미끄러지는 거리는 속도의 제곱에 비례합니다. 속도 2배면 제동거리 4배예요. 과속이 위험한 수학적 이유입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
던진 공이 포물선의 꼭대기(정점)를 지나는 순간, 위아래 속도는 얼마일까요?
y = ax² + bx + c에서 a의 부호를 +에서 −로 바꾸면 곡선은?
농구 슛처럼 던지는 높이가 착지점보다 높을 때, 가장 멀리 보내는 각도는?
y = −x² + 6x + 1의 꼭짓점은 x가 얼마일 때일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
Connection
개념은 이어진다
이전 개념
다음 개념으로 연결