수학의 절반이 그 위에 세워진, 단 하나의 상자
우리는 아주 오래전부터, 무언가를 넣으면 다른 것이 나오는 '함'을 사용하고 있었습니다.
넣으면 하나가 나오는 상자, 함수
Experiment
직접 만져보기
안에서 무슨 일이 일어나는지 몰라도, 사과를 넣으면 항상 사과주스가 나오는 상자. 우리는 이런 걸 함(상자)이라 부릅니다. 숫자를 먹는 함도 있을까요?
실험 1 — 수수께끼 상자
실험 2 — 고장난 상자
이 상자에는 항상 같은 수 5만 넣습니다. 여러 번 넣어보세요.
실험 3 — 나만의 Function 조립하기
부품 두 개를 골라 상자 안에 넣으세요. 세상에 없던 함수가 태어납니다.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
사과를 넣으면 항상 사과주스가 나오는 상자를 떠올려봅시다. 안에서 무슨 일이 일어나는지 몰라도, 넣은 것에 따라 나올 것이 정해져 있어요. 우리는 이런 장치를 '함(상자)'이라 부를 수 있습니다.
이 상자를 서양에서는 '하는 일'에 주목해 라틴어 functio(수행)에서 온 function이라 불렀습니다. 동아시아에서는 '상자'에 주목해 함수(函數)라 옮겼고요. 같은 것을 한쪽은 하는 일로, 한쪽은 생김새로 부른 셈입니다. 매번 쓰기 길어서 f라는 한 글자 이름을 붙였어요 — f는 어려운 기호가 아니라 그냥 상자의 이름입니다.
그래서 f(3) = 7은 '3을 f라는 상자에 넣었더니 7이 나왔다'는 그림을 글자로 줄여 쓴 것뿐이에요. 이 믿을 수 있는 상자 위에 예측, 그래프, 미분, 확률분포까지 수학의 절반이 세워집니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“함수는 기호가 아니라 신뢰다.”
f(x)라는 표기가 어려워 보여도, 그 뜻은 '넣으면 정해진 것이 나온다'는 신뢰의 약속입니다. 과학과 공학이 함수 위에 서 있는 이유는 이 신뢰 덕분에 예측이 가능해지기 때문이에요.
“그래프는 규칙을 한 장에 찍은 사진이다.”
가능한 모든 입력-출력 쌍을 점으로 찍으면 그래프가 됩니다. 그래프를 읽는다는 것은 무한 개의 계산 결과를 한눈에 보는 것이에요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
함수는 y = f(x) 같은 수식이 있어야 한다.
수식은 함수를 적는 한 가지 방법일 뿐입니다. 요금표, 단어장(단어→뜻), 자판기 버튼도 전부 함수예요. 본질은 '입력 하나에 출력 하나'라는 약속이지 수식이 아닙니다.
출력이 같으면 함수가 아니다. (예: 모든 입력에 7이 나오는 기계)
거꾸로입니다. 서로 다른 입력이 같은 출력을 내는 것은 허용돼요(상수함수도 함수입니다). 금지된 것은 한 입력이 여러 출력을 갖는 것뿐이에요.
Formula
수식으로 정리하기
자판기 실험에서 본 '입력 하나에 출력 하나'라는 약속을 수학의 언어로 쓰면 다음과 같습니다.
공식 해부 — 자판기 실험과 짝지어 보기
=
함수의 표기
X(정의역)의 원소 x를 넣으면 Y의 원소 f(x)가 나옵니다. f는 기계의 이름, x는 입력, f(x)는 출력이에요.
함수의 조건
입력이 같으면 출력도 같아야 합니다. 실험의 '고장난 자판기'는 이 조건을 어긴 것이에요.
그래프의 정의
모든 (입력, 출력) 쌍을 좌표평면에 찍은 점들의 모임입니다. 세로선 하나가 그래프와 두 번 만나면 함수가 아니에요(수직선 판정법).
In Real Life
현실에서 만나는 곳
요금표와 정책
택시 요금, 소득세, 택배비처럼 사회의 규칙 대부분이 입력(거리, 소득, 무게)에 따라 출력(금액)이 정해지는 함수로 설계됩니다.
프로그래밍의 function
코드의 함수는 수학의 함수에서 이름을 가져왔습니다. 같은 입력에 같은 출력을 내는 함수(순수 함수)일수록 버그가 적어요.
AI 모델
ChatGPT도 결국 '입력 문장 → 출력 확률'의 거대한 함수입니다. AI를 배운다는 것은 좋은 함수를 찾는 법을 배우는 것이에요.
단위 변환
섭씨→화씨, 원→달러처럼 모든 변환기는 함수입니다. 믿을 수 있는 이유는 같은 입력에 항상 같은 출력이 나오기 때문이에요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
무엇을 넣어도 항상 7이 나오는 기계가 있습니다. 이 기계는 함수일까요?
같은 버튼을 눌렀는데 어제는 콜라, 오늘은 사이다가 나왔습니다. 이 자판기는 함수일까요?
택배 요금표에는 수식이 없습니다. '무게 → 요금'은 함수일까요?
f(2) = 4이고 f(−2) = 4입니다. 출력 4에 입력이 둘 — 이 f는 함수 자격이 있을까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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Connection
개념은 이어진다
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