PROOF 120
증명하라.
합성은 결합적이지만 교환적이지 않다
집합과 대응 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
g: X → Y 와 f: Y → Z 에 대하여 합성 f∘g: X → Z 를 (f∘g)(x) = f(g(x)) 로 정한다.
증명.
g(x) ∈ Y 이고 f 는 Y 에서 정의되므로 f(g(x)) 가 정해진다.약속
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정리 T1
h: W → X, g: X → Y, f: Y → Z 에 대하여 (f∘g)∘h = f∘(g∘h)
증명.
(1)두 합성은 모두 W 에서 Z 로 가는 대응이다.가정, D1
(2)w ∈ W 를 임의로 잡는다.가정
(3)((f∘g)∘h)(w) = (f∘g)(h(w))D1
(4)(f∘g)(h(w)) = f(g(h(w)))D1
(5)(f∘(g∘h))(w) = f((g∘h)(w))D1
(6)(g∘h)(w) = g(h(w)) 이므로 f((g∘h)(w)) = f(g(h(w)))D1, E1
(7)((f∘g)∘h)(w) = (f∘(g∘h))(w)(3), (4), (5), (6)
(8)w 는 임의였으므로 두 합성은 모든 점에서 값이 같다.(2), (7)
(9)그러므로 (f∘g)∘h = f∘(g∘h)(8), A1
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정리 T2
모든 f, g 에 대하여 f∘g = g∘f 라는 명제는 거짓이다.
증명.
(1)f(x) = x + 1, g(x) = 2x 라 하자. 둘 다 ℝ 에서 ℝ 로 가는 함수다.가정
(2)g(1) = 2 × 1 = 2(1), A2
(3)(f∘g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 2 + 1 = 3(1), (2), D1, E1, A3
(4)f(1) = 1 + 1 = 2(1), A3
(5)(g∘f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 2 × 2 = 4(1), (4), D1, E1, A3
(6)3 ≠ 4 이므로 (f∘g)(1) ≠ (g∘f)(1)(3), (5), A4
(7)f∘g = g∘f 이면 1 에서의 값이 같아야 하므로 f∘g ≠ g∘f(6), E2
(8)반례가 하나 있으므로 전칭명제는 거짓이다.(7), A5
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따름정리 C
합성에서 괄호는 생략할 수 있으나 순서는 바꿀 수 없다. 이 성질은 함수에 국한되지 않는다.
증명.
(1)괄호의 위치가 결과를 바꾸지 않으므로 f∘g∘h 라 써도 된다.T1
(2)f∘g 를 g∘f 로 바꿔 쓸 수 없다.T2
(3)행렬의 곱은 일차변환의 합성이며, 그 곱도 결합적이고 교환적이지 않다.A6
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
같음을 말하는 줄과 다름을 말하는 줄을 나누어 보라. 두 줄이 요구하는 것의 크기가 다르다.