PROOF 119
증명하라.
역함수가 있으려면 일대일이어야 한다
집합과 대응 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
X 의 각 원소 x 에 Y 의 원소가 정확히 하나 대응할 때, 그 대응을 함수 f: X → Y 라 하고 그 하나를 f(x) 로 쓴다.
증명.
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정의 D2
모든 a, b ∈ X 에 대하여 f(a) = f(b) 이면 a = b 일 때, f 를 일대일이라 한다.
증명.
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정의 D3
f: X → Y 의 순서쌍을 뒤집은 대응을 f⁻ 라 한다. y ∈ Y 에 f⁻ 는 f(x) = y 인 x ∈ X 를 대응시킨다.
증명.
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정의 D4
모든 y ∈ Y 에 대하여 f(x) = y 인 x ∈ X 가 있을 때, f 를 전사라 한다.
증명.
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보조정리 L1
f 가 일대일이 아니면 f⁻ 는 함수가 아니다.
증명.
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보조정리 L2
f 가 일대일이면 각 y ∈ Y 에 f⁻ 가 대응시키는 것은 많아야 하나이다.
증명.
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정리 T1
f⁻ 가 Y 에서 X 로 가는 함수인 것은 f 가 일대일이고 전사일 때, 그리고 그때뿐이다.
증명.
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따름정리 C
f(x) = x² 는 ℝ → ℝ 에서 역함수를 갖지 않는다. 정의역과 공역을 모두 [0, ∞) 로 제한하면 갖는다.
증명.
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
순서쌍을 뒤집는 일과, 뒤집은 것을 함수라 부르는 일을 나누어 보라. 어느 줄이 어느 쪽인지 확인하라.