정의 D1
집합 X 에서 Y 로의 관계는 X × Y 의 부분집합, 즉 순서쌍 (a, b) 의 모임이다.
증명.
관계에는 아무 제한이 없다. 한 a 에 여러 b 가 짝지어져도 관계이다.약속
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정의 D2
관계 f 가 함수라는 것은, 각 a ∈ X 에 대하여 (a, b) ∈ f 인 b 가 정확히 하나 존재한다는 것이다.
증명.
이 조건은 D1 에서 나오지 않는다. F 를 요구로 얹는 것이 함수의 정의이다.D1, F
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정의 D3
f(a) 는 (a, b) ∈ f 인 b 를 뜻한다.
증명.
함숫값 표기는 그러한 b 를 하나 지목한다.약속
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정의 D4
f⁻¹ 은 f 의 순서쌍을 뒤집은 모임 {(b, a) : (a, b) ∈ f} 이다.
증명.
뒤집은 것도 순서쌍의 모임이므로 관계이다. 그것이 함수인지는 별개의 문제이다.D1
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정의 D5
f 가 일대일이라는 것은 f(a₁) = f(a₂) 이면 a₁ = a₂ 인 것이다.
증명.
서로 다른 입력이 같은 출력을 갖지 않는다는 뜻이다.약속
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정의 D6
f 의 치역 f(X) 는 {f(a) : a ∈ X} 이다.
증명.
치역의 원소 b 에는 f(a) = b 인 a 가 적어도 하나 있다.약속
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보조정리 L1
관계 f 에 (a, b) 와 (a, c) 가 함께 있고 b ≠ c 이면, 표기 f(a) 는 어떤 값도 지목하지 못한다.
증명.
(1)(a, b) ∈ f 이고 (a, c) ∈ f 이며 b ≠ c 라 하자.가정
(2)f(a) = b(1), D3
(3)f(a) = c(1), D3
(4)b = f(a) 이고 f(a) = c 이므로 b = c(2), (3), A2
(5)b = c 와 b ≠ c 는 함께 성립할 수 없다.(1), (4), A3
(6)그러므로 D3 는 f(a) 에 값을 지정하지 못한다.(5), D3
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정리 T1
표기 f(a) 가 값을 갖는 관계는 정확히 D2 를 만족하는 관계이다.
증명.
(1)f 가 D2 를 만족한다고 하자. 각 a 에 (a, b) ∈ f 인 b 가 정확히 하나 있다.D2
(2)그러므로 f(a) 는 그 하나의 b 를 지목한다.(1), D3
(3)거꾸로 f 가 D2 를 만족하지 않는다고 하자. 어떤 a 에 대하여 그러한 b 가 없거나 둘 이상이다.D2
(4)b 가 없으면 f(a) 가 지목할 것이 없다.(3), D3
(5)b 가 둘 이상이면 f(a) 는 값을 갖지 못한다.(3), L1
(6)그러므로 표기 f(a) 는 D2 를 요구한다.(2), (4), (5)
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정리 T2
a > 0 일 때 x² = a 의 해는 둘이므로, 기호 √a 를 함수로 쓰려면 둘 중 하나를 골라야 한다.
증명.
(1)a > 0 이면 x² = a 의 해는 서로 다른 둘이다.P1
(2)「√a 는 x² = a 인 x」로 두면 한 a 에 서로 다른 두 값이 짝지어진다.(1), D1
(3)그러면 표기 √a 는 값을 갖지 못한다.(2), L1
(4)√ 를 함수로 쓰려면 D2 를 만족해야 한다.T1
(5)그러므로 둘 중 하나를 골라야 하고, 음이 아닌 쪽을 고른다.(3), (4), P2
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정리 T3
f⁻¹ 이 치역 f(X) 위에서 함수인 것과 f 가 일대일인 것은 같다.
증명.
(1)b ∈ f(X) 이면 f(a) = b 인 a 가 있고, (a, b) ∈ f 이므로 (b, a) ∈ f⁻¹ 이다.D6, D3, D4
(2)f 가 일대일이라 하자.가정
(3)(b, a₁), (b, a₂) ∈ f⁻¹ 이면 (a₁, b), (a₂, b) ∈ f 이다.D4
(4)그러면 f(a₁) = b 이고 b = f(a₂) 이므로 f(a₁) = f(a₂) 이다.(3), D3, A2
(5)a₁ = a₂(2), (4), D5
(6)(1) 과 (5) 에 의하여 각 b ∈ f(X) 에 대응하는 것이 정확히 하나이므로 f⁻¹ 은 함수이다.(1), (5), D2
(7)거꾸로 f⁻¹ 이 f(X) 위에서 함수라 하자.가정
(8)f(a₁) = f(a₂) = b 라 하면 (b, a₁), (b, a₂) ∈ f⁻¹ 이다.D3, D4
(9)b 에 대응하는 것은 하나뿐이므로 a₁ = a₂ 이고, f 는 일대일이다.(7), (8), D2, D5
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따름정리 C
좌표평면의 점의 모임 G 가 함수의 그래프인 것과, 모든 수직선 x = a 가 G 와 정확히 한 점에서 만나는 것은 같다.
증명.
(1)수직선 x = a 는 (a, y) 꼴의 점 전체이다.약속
(2)(a, y) 와 (a, y′) 는 y = y′ 일 때에만 같은 점이다.A1
(3)그러므로 수직선과 G 가 만나는 점의 개수는 (a, y) ∈ G 인 y 의 개수와 같다.(1), (2)
(4)G 가 함수의 그래프인 것은 각 a 에 그러한 y 가 정확히 하나인 것이다.D1, D2
(5)그러므로 두 문장은 같다.(3), (4)
(6)수직선 판정법은 그림에서 발견한 규칙이 아니라 D2 를 좌표평면에 옮겨 적은 것이다.(5), D2
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