PROOF 29
증명하라.
역함수의 그래프는 y = x 에 대칭이다
실수 함수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
함수 f 의 그래프 G(f) 는 순서쌍 (a, f(a)) 전체의 집합이다. 즉 (a,b) ∈ G(f) ⟺ b = f(a)
증명.
그래프는 그림이 아니라 순서쌍의 집합이다. 함수가 아닌 대응에는 이 정의를 쓸 수 없다.약속
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정의 D2
f 가 일대일 대응일 때 f⁻¹(b) = a 를 f(a) = b 로 정한다.
증명.
(1)각 b 에 대하여 f(a) = b 인 a 가 유일하므로 이 대응은 함수다.A2
(2)그러므로 f⁻¹ 도 그래프 G(f⁻¹) 를 갖는다.(1), D1
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정의 D3
점 (x, y) 를 (y, x) 로 옮기는 대응을 σ 라 한다. 직선 y = x 는 두 좌표가 같은 점 전체의 집합이다.
증명.
σ 를 대칭이동이라 부르지 않는다. 그것이 대칭이동인지는 L1 에서 확인한다.약속
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보조정리 L1
P = (a, b) 에 대하여 σ(P) 는 P 의 y = x 에 대한 대칭점이다. 즉 선분 Pσ(P) 의 중점은 y = x 위에 있고, 그 선분은 y = x 와 수직이다.
증명.
(1)σ(P) = (b, a)D3
(2)a = b 이면 σ(P) = P 이고, 두 좌표가 같으므로 P 는 y = x 위에 있다.(1), D3
(3)이제 a ≠ b 라 하자.가정
(4)선분 Pσ(P) 의 중점은 ((a+b)/2, (b+a)/2) 이다.(1), A3
(5)a + b = b + a 이므로 중점의 두 좌표는 같고, 중점은 y = x 위에 있다.(4), A6, D3
(6)b − a ≠ 0 이므로 Pσ(P) 의 기울기는 (a−b)/(b−a) 이다.(3), A9, A4
(7)a − b = −(b − a) 이므로 그 기울기는 −1 이다.(6), A8, A7
(8)(0,0) 과 (1,1) 은 y = x 위의 점이고, y = x 의 기울기는 (1−0)/(1−0) = 1 이다.D3, A4
(9)1 × (−1) = (−1) × 1 = −1 이므로 두 직선은 수직이다.(7), (8), A11, A10, A5
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정리 T1
(a, b) ∈ G(f) ⟺ (b, a) ∈ G(f⁻¹)
증명.
(1)(a,b) ∈ G(f) ⟺ b = f(a)D1
(2)b = f(a) ⟺ f⁻¹(b) = aD2
(3)f⁻¹(b) = a ⟺ (b,a) ∈ G(f⁻¹)D2, D1
(4)세 동치를 이으면 (a,b) ∈ G(f) ⟺ (b,a) ∈ G(f⁻¹)(1), (2), (3)
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따름정리 C
G(f) 를 σ 로 옮긴 집합은 G(f⁻¹) 이며, 두 그래프는 y = x 에 대하여 대칭이다.
증명.
(1)(a,b) ∈ G(f) 이면 σ(a,b) = (b,a) ∈ G(f⁻¹)D3, T1
(2)거꾸로 (b,a) ∈ G(f⁻¹) 이면 (a,b) ∈ G(f) 이고 σ(a,b) = (b,a) 이다.T1, D3
(3)두 집합은 원소가 같으므로 σ(G(f)) = G(f⁻¹)(1), (2), A1
(4)σ 는 y = x 에 대한 대칭이동이다.L1
(5)그러므로 두 그래프는 y = x 에 대하여 대칭이다.(3), (4)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
접는 일과 접은 결과를 함수라 부르는 일은 서로 다른 공리에 기댄다. 어느 줄이 어느 쪽인지 확인하라.