이 수를 발견한 죄로 바다에 던져졌다는 전설
한 변이 1인 정사각형의 대각선. 이 길이를 분수로 쓸 수 있을까?
표현할 수 없는 것이 나타날 때마다, 수의 세계는 넓어졌다.
Experiment
직접 만져보기
√2가 태어난 자리 — 정사각형의 대각선
한 변이 1인 정사각형을 그으면 대각선의 길이가 √2입니다. 사냥 중인 분수가 그 대각선 위 어디쯤인지 보세요.
확대할수록 분수는 √2에 바짝 붙습니다. 그런데 눈금에 정확히 걸리는 순간은 오지 않아요.
예측 먼저 — 한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이(√2 ≈ 1.414…)를 분수로 정확히 쓸 수 있을까요?
분수 사냥 — 제곱해서 정확히 2가 되는 분수를 찾아라
버튼을 누를 때마다 더 정밀한 분수로 조여갑니다. (p/q)²이 정확히 2가 되는 순간이 올까요?
1/1
현재 분수
1.000000
제곱하면
1.000000
2와의 차이
수의 세계에서 무리수는 어디쯤일까?
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ — 네 번의 위기와 확장, 수의 확장 실험실에서 전체 지도를 받아 보세요.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
고대 그리스 피타고라스 학파는 '만물은 (자연수의) 비율'이라 믿었습니다. 그런데 자기들의 정리가 낳은 정사각형 대각선 √2가 그 믿음을 무너뜨렸어요.
√2를 분수 p/q로 쓸 수 있다고 가정하면 모순이 터집니다(짝수·홀수 논법). 즉 유리수만으로는 수직선에 구멍이 있어요. 대각선 길이조차 표현 못 하는 구멍입니다.
그 구멍들을 채우는 수가 무리수입니다. 유리수와 무리수를 합쳐야 비로소 빈틈없는 수직선(실수)이 완성돼요. 극한과 미적분이 설 수 있는 무대가 이렇게 마련됐습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“√2는 수학사 최초의 스캔들이었다.”
'모든 것은 비율'이라는 세계관이 내부 고발로 무너졌습니다. 불편한 발견을 감추지 않고 수 체계를 넓힌 것이에요. 수학이 종교가 아니라 학문인 이유입니다.
“무리수는 예외가 아니라 다수다.”
수직선 위에서 무작위로 한 점을 찍으면 사실상 확률 1로 무리수입니다. 우리가 익숙한 분수들이 오히려 티끌처럼 드문 존재예요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
계산기에 뜨는 1.41421356이 √2다.
그것은 √2의 앞부분일 뿐입니다. √2의 소수점은 끝나지도, 반복되지도 않아요. 어떤 유한한 표기도 √2 자체가 아니라 근사값입니다.
소수점이 무한하면 무리수다.
0.333…은 무한하지만 1/3, 즉 유리수입니다. 기준은 무한함이 아니라 반복하는가예요. 무한하되 반복이 없어야 무리수입니다.
Formula
수식으로 정리하기
분수 사냥의 실패를 수학의 언어로 쓰면 무리수의 정의가 됩니다.
공식 해부 — 분수 사냥의 실패와 짝지어 보기
⇒ ⇒
무리수의 정의
어떤 정수의 비로도 쓸 수 없는 수입니다. 소수로 쓰면 끝나지 않고 반복하지도 않아요.
귀류법의 한 줄 요약
p²=2q²이면 p는 짝수이고, 그러면 q도 짝수입니다. 기약분수라는 가정이 무너져요. 실험에서 사냥이 항상 실패한 이유의 증명입니다.
실수 = 유리수 + 무리수
둘을 합쳐야 수직선이 빈틈없이 채워집니다. 이 빈틈없음(완비성)이 극한과 미적분의 토대가 돼요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
A4 용지의 비밀
A열 용지의 가로세로 비는 1:√2입니다. 반으로 접어도 같은 비율이 유지되는 유일한 비율이에요. 무리수가 문구점에 숨어 있습니다.
카메라 조리개 (f값)
f/1.4, f/2, f/2.8처럼 한 단계가 √2배입니다. 빛의 양이 정확히 2배씩 변하도록 무리수로 눈금을 매겼어요.
음악의 평균율
반음 하나의 진동수 비는 ¹²√2입니다. 옥타브를 12등분하는 무리수 비율 덕분에 어떤 조로도 조옮김이 가능해졌어요.
π와 원의 세계
원주율 π도 무리수입니다. 바퀴가 한 바퀴 구른 거리조차 분수로는 정확히 쓸 수 없어요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
0.272727…(27이 반복)은 유리수일까요, 무리수일까요?
√16은 유리수일까요, 무리수일까요?
분수 사냥에서 분모를 아무리 키워도 (p/q)²이 정확히 2가 되지 않는 이유는?
무리수 √2와 무리수 √8을 곱하면 어떻게 될까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
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