빠른 아킬레스가 거북이를 영영 못 잡는다는 역설
0.9, 0.99, 0.999, … 이렇게 9를 영원히 붙여나가면, 그 끝은 1일까 아닐까?
도달하지 않고도 목적지를 말하는 법, 극한
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 0.999…(9가 무한히 반복)는 1보다 작을까요, 정확히 1일까요?
직접 붙여보세요 — 9를 하나씩
지금 값
0.9
1과의 간격
0.1
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
'한없이 가까워진다'는 감각은 누구에게나 있습니다. 하지만 그 감각만으로는 아무것도 계산할 수 없어요. 0으로 나눌 수도, 무한 번 더할 수도 없기 때문입니다.
미분은 '구간을 0으로 줄일 때', 적분은 '조각을 무한히 쪼갤 때'를 다뤄야 합니다. 즉 미적분 전체가 '한없이'를 엄밀하게 만드는 기술 위에 서 있어요.
극한은 그 기술입니다. '그 점에서의 값'이 아니라 '주변이 가리키는 값'을 묻는 발상의 전환이에요. 이 우회로 하나로 인류는 무한을 계산 가능하게 만들었습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“극한은 '도착'이 아니라 '행선지'다.”
기차가 종착역에 도착하지 않아도 행선지 표지판은 확정돼 있습니다. 극한값은 함수가 실제로 갖는 값이 아니라, 가까워질수록 분명해지는 행선지예요.
“0/0은 금지가 아니라 '더 자세히 보라'는 신호다.”
sin(x)/x에 0을 넣으면 0/0이지만, 극한으로 보면 1입니다. 0/0 꼴은 답이 없는 게 아니라 분자와 분모가 '얼마나 빨리 0이 되는가'의 대결이에요. 그 대결의 심판이 극한입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
0.999…는 1보다 아주 조금 작다.
0.999…와 1 사이에 낄 수 있는 수는 하나도 없습니다. 차이가 0이라는 뜻이고, 차이가 0인 두 수는 같은 수예요. 0.999… = 1은 근사가 아니라 정확한 등식입니다.
극한값은 그 점에 함수값이 있어야 존재한다.
극한은 '주변'만 봅니다. 그 점에 구멍이 나 있어도(정의 안 됨), 심지어 엉뚱한 값이 있어도, 주변이 한 곳을 가리키면 극한은 존재해요. 이 분리가 미분을 가능하게 했습니다.
Formula
수식으로 정리하기
다가가기 실험을 수학의 언어로 쓰면 다음과 같습니다.
공식 해부 — 다가가기 실험과 짝지어 보기
=
극한의 표기
x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워집니다. x=a를 대입하는 것이 아니라 주변의 행선지를 읽는 것이에요.
실험에서 본 유명한 극한
0/0 꼴이지만 극한은 1입니다. 작은 각도에서 sin x ≈ x라는 뜻이며, 삼각함수 미분 전체가 이 극한 하나에서 나와요.
0.999… = 1의 정체
0.999…라는 표기 자체가 극한으로 정의된 수입니다. 극한값이 1이므로 0.999…는 곧 1이에요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
미분과 적분의 토대
순간속도(미분)와 곡선의 넓이(적분)는 둘 다 극한으로 정의됩니다. 극한 없이는 미적분이라는 건물 전체가 서지 못해요.
화면 속의 곡선
컴퓨터는 곡선을 아주 짧은 직선들로 그립니다. 조각을 한없이 줄이면 곡선과 구분이 안 돼요. 렌더링은 극한의 공학적 응용입니다.
이자 계산의 극한, e
이자를 무한히 잘게 쪼개 붙이면(연속 복리) (1+1/n)ⁿ의 극한인 e=2.718…가 등장합니다. 자연상수는 극한이 낳은 수예요.
공학의 안전 설계
'하중을 한없이 늘리면 구조물은 어떻게 되는가'를 묻는 극한 상태 설계는 말 그대로 극한의 사고방식입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
0.999…(9가 무한히 반복)와 1의 관계는 무엇일까요?
lim(x→3) (x²−9)/(x−3)의 값은? (x = 3을 넣으면 0/0이 됩니다)
x = 2에서 정의되지 않는(구멍 난) 함수가 있습니다. x → 2의 극한값은 어떻게 될까요?
수열 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …에 대한 올바른 설명은 무엇일까요?
Watch
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증명 실험실
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학습 실험실
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Connection
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