×ⁿ · 복리
단리는 이자를 더하고, 복리는 이자에 또 이자를 곱한다. 그 차이는 시간이 길수록 폭발한다.
연 7%씩 30년이면, 원금은 몇 배가 되어 있을까?
어떤 질문을 풀려는 걸까요?
연 7% 이자로 30년을 모으면 얼마가 될까? 단리로 생각하면 7% × 30년 = 210%, 약 3배다. 하지만 복리는 7.6배다.
차이의 정체는 '이자가 이자를 낳는' 구조다. 매년 붙는 이자가 다음 해의 원금이 되어 함께 불어난다. 덧셈이 아니라 곱셈의 반복이다.
처음 몇 년은 단리와 복리가 거의 같아 보인다. 그래서 사람들은 복리의 힘을 과소평가한다. 이 실험실에서는 그 '거의 같아 보이는' 구간과 '벌어지는' 구간을 직접 확인한다.
조건을 하나씩 바꿔 봅시다
숫자는 입력한 조건에서 나온 결과입니다. 현실의 확정값으로 보기 전에 단위와 가정을 확인해 주세요.
예측 먼저 — 1천만원을 연 7%로 30년 굴리면 몇 배가 되어 있을까요?
두 은행에 동시에 맡겨보세요 — +5년씩
단리 은행 (이자를 따로 보관)
1,000만
복리 은행 (이자를 재예치)
1,000만
같은 계산을 다른 말로 읽으면
복리는 원금뿐 아니라 앞에서 붙은 이자까지 다음 계산의 기준이 되는 구조입니다. 시간이 지날수록 곱셈이 반복되므로, 일정액을 더하는 단리와 달라집니다.
학습용으로 매 기간 10%를 가정하면 100은 110, 다음에는 121이 됩니다. 둘째 이자는 처음 원금 100이 아니라 110의 10%입니다. 두 번의 10%가 총 20%와 같지 않은 이유입니다.
연 7%로 30년이면 7×30 = 210%, 대략 3배가 된다.
그건 단리 계산이다. 복리는 1.07을 30번 곱해서 약 7.6배. 이자가 매년 재투자되며 눈덩이처럼 커지기 때문이다.
수익률이 2배면 최종 금액도 2배다.
수익률은 지수 위가 아니라 밑에 들어간다. 4%로 30년이면 3.2배, 8%로 30년이면 10.1배 — 2배가 아니라 3배 이상 차이난다.
계산이 성립하는 이유와 조건
예시의 수익률은 가정이며 미래 수익을 보장하지 않습니다. 세금·수수료·입출금·변동 수익률은 별도로 다룹니다.
그래프에서 본 직선(단리)과 곡선(복리)의 차이를 수식으로 쓰면, 덧셈과 곱셈의 차이가 그대로 드러납니다.
공식 해부 — 두 은행 실험에서 만진 것과 짝지어 보기
= ×
단리 — 덧셈의 세계
매년 원금 P의 r만큼만 이자가 붙는다. n년이면 이자가 n번 '더해진다'. 그래서 그래프가 직선이다.
복리 — 곱셈의 세계
매년 (1+r)이 '곱해진다'. n이 지수에 들어가기 때문에 그래프가 위로 휘어지는 지수 곡선이 된다.
72의 법칙
연 r%일 때 원금이 2배가 되는 데 걸리는 시간의 근사식. 6%면 12년, 9%면 8년. 이 근사가 성립하는 이유는 로그에 있다.
다른 상황으로 옮겨 볼까요?
연금과 장기 투자
20대의 100만원과 40대의 100만원은 은퇴 시점 가치가 몇 배씩 다르다. '일찍 시작하라'는 조언의 수학적 근거가 복리다.
대출 이자도 복리로 쌓인다
복리는 자산만 불리지 않는다. 갚지 않은 이자에 또 이자가 붙는 리볼빙·연체의 구조도 똑같은 지수 곡선이다.
물가 상승
연 3% 물가상승률이 계속되면 24년 뒤 물가는 2배다(72÷3). 내 현금의 구매력은 같은 속도로 반으로 줄어든다.
구독료의 누적
매달 나가는 구독료를 연 7%로 30년 투자했다면 얼마가 됐을까 — 소비 결정을 복리의 눈으로 다시 보게 된다.
이제 내 말로 설명해 보세요
한 번 10% 오르고 다음에 10% 내리면 제자리인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
100×1.1×0.9=99입니다. 두 비율이 적용되는 기준 금액이 다릅니다.
문제로 한 번 더 확인하기
문제 완료 0 / 4
1. 1천만원을 연 7%로 30년 굴리면 원금의 약 몇 배가 될까요?
2. 연 6% 수익률이면 원금이 2배가 되는 데 약 몇 년 걸릴까요? (72의 법칙)
3. 수익률을 2배로 올리면(4% → 8%), 30년 뒤 금액은 어떻게 될까요?
4. 물가가 매년 3%씩 오르면, 물가가 2배가 되는 데 약 몇 년 걸릴까요?
계산 뒤의 수학으로 이어집니다
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