aₙ · 수열
덧셈으로 자라느냐 곱셈으로 자라느냐, 미래를 가르는 수열
매달 100만원씩 저축하는 사람과, 매달 10%씩 불어나는 10만원. 누가 먼저 1억을 만들까?
한참 뒤처지던 쪽이 어느 순간 아무도 못 따라잡게 되는 이유
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
시간 위에서 벌어지는 일들, 즉 매달의 저축, 매년의 이자, 세대마다의 감염은 전부 '이전 항에서 다음 항이 정해지는' 구조를 갖습니다.
그 규칙이 '일정량을 더하기'면 등차수열, '일정 배율을 곱하기'면 등비수열이에요. 앞의 것은 착실한 직선을, 뒤의 것은 처음엔 굼뜨다가 폭발하는 곡선을 만듭니다.
이 둘의 레이스에서 등비가 반드시 역전한다는 사실이 복리 투자, 기술 발전, 전염병 확산을 이해하는 뼈대예요. 수열은 시간을 계산 가능하게 만드는 첫 도구입니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
100에서 출발 — 왼쪽은 +100씩, 오른쪽은 ×1.5씩
| 등차 (+100) | 등비 (×1.5) | |
|---|---|---|
| 1항 | 100 | 100 |
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
수열은 수를 순서대로 놓은 함수로 볼 수 있습니다. 값뿐 아니라 몇 번째에 놓였는지가 중요하며, 한 항을 직접 구하는 식과 앞 항에서 다음 항을 만드는 규칙은 다른 표현입니다.
2, 5, 8, 11에서는 차가 3입니다. 첫째 항이 2라면 n번째 항은 2+3(n−1)입니다. 앞 항에 3을 더한다는 말과 n번째 항을 바로 구하는 식이 같은 수열을 설명합니다.
수열은 시간을 수로 바꾸는 기술이다.
함수가 '입력→출력'이라면 수열은 입력이 1, 2, 3번째인 함수입니다. 시간 순서가 있는 모든 현상(저축, 이자, 인구)이 수열로 모델링되는 이유예요.
점화식은 '어제로 오늘을 정의하는' 사고방식이다.
aₙ₊₁ = aₙ × 1.1처럼 이전 항으로 다음 항을 정하는 것이 점화식입니다. 대출 잔금, 프로그래밍의 재귀, 프랙탈까지 반복 구조의 언어예요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
초기값과 시작 인덱스를 함께 정합니다. 유한하게 주어진 몇 항만으로 전체 수열이 유일하게 정해지지는 않습니다.
레이스에서 본 두 성장의 규칙을 수식으로 정리합니다.
공식 해부 — 성장 레이스와 짝지어 보기
= ×
등차수열 — 덧셈의 성장
첫 항 a₁에서 공차 d를 (n−1)번 더한 것입니다. 그래프로 그리면 직선이에요(일차함수와 형제).
등비수열 — 곱셈의 성장
첫 항에 공비 r을 (n−1)번 곱한 것입니다. 그래프로 그리면 지수 곡선이에요(지수함수와 형제).
점화식
'다음 = 지금 + d' 또는 '다음 = 지금 × r'입니다. 대출 잔금은 이 둘의 결합이에요. 잔금ₙ₊₁ = 잔금ₙ × (1+이율) − 상환액입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
처음에 앞서는 쪽이 계속 앞선다.
등차는 초반의 승자, 등비는 최후의 승자입니다. 곱셈 성장은 자신의 크기에 비례해 커지므로, 몸집이 작을 땐 느리지만 일정 크기를 넘는 순간 아무도 못 따라잡아요.
수열 공식(aₙ = a + (n−1)d)은 외워야 할 별개의 지식이다.
'첫 항에서 출발해 d를 (n−1)번 더했다'를 그대로 받아 적은 것이 공식입니다. 규칙을 말로 설명할 수 있으면 공식은 저절로 나와요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
적금 vs 투자
매달 일정액 붓는 적금은 등차적으로, 수익이 재투자되는 복리 투자는 등비적으로 자랍니다. 젊을수록 등비의 시간이 길다는 것이 '일찍 시작하라'의 근거예요.
대출 상환 스케줄
대출 실험실에서 본 원리금균등상환의 잔금 계산이 바로 점화식입니다. 월 상환액 공식은 등비수열의 합에서 나와요.
기술의 발전 속도
반도체 집적도가 2년마다 2배가 됩니다(무어의 법칙). 등비수열이에요. 기술 발전이 체감상 '갑자기' 빨라지는 이유입니다.
프로그래밍의 재귀
피보나치 수열(aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂)처럼 자신을 참조하는 정의는 재귀 알고리즘의 원형입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
n 대신 n−1이 들어가는 이유는 무엇인가요?
생각한 뒤 설명 확인하기
첫째 항에서 n번째 항까지 간격은 n−1번입니다. 항의 개수와 이동 횟수를 구분해야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 매달 100만원씩 더해지는 등차팀과 매달 1.1배씩 불어나는 등비팀, 충분히 오래 달리면 어떻게 될까요?
2. 첫 항 3, 공차 4인 등차수열의 10번째 항은 얼마일까요?
3. 공식 aₙ = a₁ + (n−1)d에 n이 아니라 (n−1)이 들어가는 이유는 무엇일까요?
4. 점화식 aₙ₊₁ = 2aₙ, a₁ = 3일 때 a₄는 얼마일까요?
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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