한참 뒤처지던 쪽이 어느 순간 아무도 못 따라잡게 되는 이유
매달 100만원씩 저축하는 사람과, 매달 10%씩 불어나는 10만원. 누가 먼저 1억을 만들까?
덧셈으로 자라느냐 곱셈으로 자라느냐, 미래를 가르는 수열
Experiment
직접 만져보기
100에서 출발 — 왼쪽은 +100씩, 오른쪽은 ×1.5씩
| 등차 (+100) | 등비 (×1.5) | |
|---|---|---|
| 1항 | 100 | 100 |
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
시간 위에서 벌어지는 일들, 즉 매달의 저축, 매년의 이자, 세대마다의 감염은 전부 '이전 항에서 다음 항이 정해지는' 구조를 갖습니다.
그 규칙이 '일정량을 더하기'면 등차수열, '일정 배율을 곱하기'면 등비수열이에요. 앞의 것은 착실한 직선을, 뒤의 것은 처음엔 굼뜨다가 폭발하는 곡선을 만듭니다.
이 둘의 레이스에서 등비가 반드시 역전한다는 사실이 복리 투자, 기술 발전, 전염병 확산을 이해하는 뼈대예요. 수열은 시간을 계산 가능하게 만드는 첫 도구입니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“수열은 시간을 수로 바꾸는 기술이다.”
함수가 '입력→출력'이라면 수열은 입력이 1, 2, 3번째인 함수입니다. 시간 순서가 있는 모든 현상(저축, 이자, 인구)이 수열로 모델링되는 이유예요.
“점화식은 '어제로 오늘을 정의하는' 사고방식이다.”
aₙ₊₁ = aₙ × 1.1처럼 이전 항으로 다음 항을 정하는 것이 점화식입니다. 대출 잔금, 프로그래밍의 재귀, 프랙탈까지 반복 구조의 언어예요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
처음에 앞서는 쪽이 계속 앞선다.
등차는 초반의 승자, 등비는 최후의 승자입니다. 곱셈 성장은 자신의 크기에 비례해 커지므로, 몸집이 작을 땐 느리지만 일정 크기를 넘는 순간 아무도 못 따라잡아요.
수열 공식(aₙ = a + (n−1)d)은 외워야 할 별개의 지식이다.
'첫 항에서 출발해 d를 (n−1)번 더했다'를 그대로 받아 적은 것이 공식입니다. 규칙을 말로 설명할 수 있으면 공식은 저절로 나와요.
Formula
수식으로 정리하기
레이스에서 본 두 성장의 규칙을 수식으로 정리합니다.
공식 해부 — 성장 레이스와 짝지어 보기
= ×
등차수열 — 덧셈의 성장
첫 항 a₁에서 공차 d를 (n−1)번 더한 것입니다. 그래프로 그리면 직선이에요(일차함수와 형제).
등비수열 — 곱셈의 성장
첫 항에 공비 r을 (n−1)번 곱한 것입니다. 그래프로 그리면 지수 곡선이에요(지수함수와 형제).
점화식
'다음 = 지금 + d' 또는 '다음 = 지금 × r'입니다. 대출 잔금은 이 둘의 결합이에요. 잔금ₙ₊₁ = 잔금ₙ × (1+이율) − 상환액입니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
적금 vs 투자
매달 일정액 붓는 적금은 등차적으로, 수익이 재투자되는 복리 투자는 등비적으로 자랍니다. 젊을수록 등비의 시간이 길다는 것이 '일찍 시작하라'의 근거예요.
대출 상환 스케줄
대출 실험실에서 본 원리금균등상환의 잔금 계산이 바로 점화식입니다. 월 상환액 공식은 등비수열의 합에서 나와요.
기술의 발전 속도
반도체 집적도가 2년마다 2배가 됩니다(무어의 법칙). 등비수열이에요. 기술 발전이 체감상 '갑자기' 빨라지는 이유입니다.
프로그래밍의 재귀
피보나치 수열(aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂)처럼 자신을 참조하는 정의는 재귀 알고리즘의 원형입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
매달 100만원씩 더해지는 등차팀과 매달 1.1배씩 불어나는 등비팀, 충분히 오래 달리면 어떻게 될까요?
첫 항 3, 공차 4인 등차수열의 10번째 항은 얼마일까요?
공식 aₙ = a₁ + (n−1)d에 n이 아니라 (n−1)이 들어가는 이유는 무엇일까요?
점화식 aₙ₊₁ = 2aₙ, a₁ = 3일 때 a₄는 얼마일까요?
증명 실험실
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믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
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