PROOF 114
증명하라.
등차수열의 일반항은 일차식이다
실수 수열 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
수열 (aₙ) 이 등차수열이라는 것은, n 에 따라 변하지 않는 수 d 가 있어 모든 자연수 n 에 대하여 aₙ₊₁ = aₙ + d 인 것이다.
증명.
이 조건은 이웃한 두 항 사이만 말한다. 떨어진 두 항에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.약속
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정의 D2
b − a 는 b + (−a) 를 뜻한다.
증명.
뺄셈은 새로운 연산이 아니라 역원을 더하는 것이다.약속
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보조정리 L1
P(n) 을 「aₙ = a₁ + (n−1)d」이라 하면 P(1) 이 성립한다.
증명.
(1)1 − 1 = 1 + (−1) = 0D2, A5
(2)(1−1)d = 0 × d = d × 0 = 0(1), E, A8, P1
(3)a₁ + (1−1)d = a₁ + 0 = a₁(2), E, A4
(4)그러므로 P(1) 이 성립한다.(3)
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보조정리 L2
모든 자연수 k 에 대하여 P(k) 이면 P(k+1) 이다.
증명.
(1)aₖ = a₁ + (k−1)d 라 하자.가정
(2)aₖ₊₁ = aₖ + dD1
(3)aₖ₊₁ = (a₁ + (k−1)d) + d(1), (2), E
(4) = a₁ + ((k−1)d + d)(3), A2
(5)(k−1)d + d = (k−1)d + 1×d = ((k−1)+1)dA7, A8, A6
(6)(k−1) + 1 = (k + (−1)) + 1 = k + ((−1)+1) = k + 0 = kD2, A2, A3, A5, A4
(7)(k+1) − 1 = (k+1) + (−1) = k + (1 + (−1)) = k + 0 = kD2, A2, A5, A4
(8)aₖ₊₁ = a₁ + kd = a₁ + ((k+1)−1)d 이므로 P(k+1) 이 성립한다.(4), (5), (6), (7), E
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정리 T1
모든 자연수 n 에 대하여 aₙ = a₁ + (n−1)d
증명.
(1)P(1) 이 성립한다.L1
(2)모든 k 에 대하여 P(k) ⟹ P(k+1) 이다.L2
(3)그러므로 모든 n 에 대하여 P(n) 이다.(1), (2), A1
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따름정리 C
aₙ = dn + (a₁ − d) 이다. d ≠ 0 이면 이는 n 에 대한 일차식이고, 점 (n, aₙ) 은 모두 직선 y = dx + (a₁ − d) 위에 있으며, 이웃한 두 점의 간격은 언제나 (1, d) 이다.
증명.
(1)aₙ = a₁ + (n−1)dT1
(2)(n−1)d = (n + (−1))d = nd + (−1)dD2, A6
(3)(−1)d = −(1×d) = −dA9, A8, A7
(4)aₙ = a₁ + (nd + (−d)) = nd + (a₁ + (−d)) = dn + (a₁ − d)(1), (2), (3), A2, A3, A8, D2
(5)d 와 a₁ − d 는 n 에 따라 변하지 않으므로, d ≠ 0 이면 이는 n 에 대한 일차식이다.(4), D1
(6)y = dx + (a₁ − d) 의 그래프는 직선이고, 모든 점 (n, aₙ) 이 그 위에 있다.(4), P2
(7)aₙ₊₁ − aₙ = (aₙ + d) − aₙ = d 이고 (n+1) − n = 1 이므로 간격은 언제나 (1, d) 이다.D1, D2, A2, A3, A5, A4
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
본문에서 A1 을 인용하는 줄은 하나뿐이다. 그 줄을 지우고 무엇이 남는지 확인하라.