PROOF 28
증명하라.
1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
자연수 ℕ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
S(n) 은 1 부터 n 까지의 합이며, S(1) = 1, S(k+1) = S(k) + (k+1) 로 정한다.
증명.
이 두 식은 각 자연수 n 에 대하여 S(n) 을 하나로 정한다.약속
∎
정의 D2
a ÷ b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
그러한 x 가 하나뿐일 때에만 a ÷ b 는 값을 갖는다.약속
∎
보조정리 L1
P(n) 을 「2S(n) = n(n+1)」이라 하면 P(1) 이 성립한다.
증명.
(1)S(1) = 1D1
(2)2S(1) = 2 × 1 = 2(1), E, A5
(3)1 + 1 = 2A6
(4)1(1+1) = 1 × 2 = 2 × 1 = 2(3), A4, A5
(5)2S(1) = 1(1+1)(2), (4)
∎
보조정리 L2
모든 자연수 k 에 대하여 P(k) 이면 P(k+1) 이다.
증명.
(1)2S(k) = k(k+1) 이라 하자.가정
(2)S(k+1) = S(k) + (k+1)D1
(3)2S(k+1) = 2(S(k) + (k+1))(2), E
(4) = 2S(k) + 2(k+1)(3), A3
(5) = k(k+1) + 2(k+1)(4), (1)
(6)k(k+1) = (k+1)k, 2(k+1) = (k+1)2A4
(7)(k+1)k + (k+1)2 = (k+1)(k+2)A3
(8)k + 2 = k + (1+1) = (k+1) + 1A6, A2
(9)2S(k+1) = (k+1)((k+1)+1) 이므로 P(k+1) 이 성립한다.(5), (6), (7), (8)
∎
정리 T1
모든 자연수 n 에 대하여 2S(n) = n(n+1)
증명.
(1)P(1) 이 성립한다.L1
(2)모든 k 에 대하여 P(k) ⟹ P(k+1) 이다.L2
(3)그러므로 모든 n 에 대하여 P(n) 이다.(1), (2), A1
∎
따름정리 C
모든 자연수 n 에 대하여 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2
증명.
(1)2S(n) = n(n+1)T1
(2)n(n+1) ÷ 2 는 2x = n(n+1) 인 x 이다.D2
(3)S(n) 은 그러한 x 이다.(1), (2)
(4)2x = 2y 이면 x = y 이므로 그러한 x 는 하나뿐이다.A7
(5)S(n) = n(n+1)/2(3), (4), D2
∎
비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
본문은 L1 과 L2 두 줄뿐이다. 제거하면 그 두 줄이 무엇까지 덮는지 확인하라.