PROOF 36
증명하라.
등차수열의 합
실수 수열 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
수열 (aₙ) 은 첫항 a₁ 과 공차 d 로 aₙ₊₁ = aₙ + d 를 만족한다.
증명.
이 식은 각 자연수 n 에 대하여 aₙ 을 하나로 정한다. d 는 n 에 따라 변하지 않는다.약속
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정의 D2
Sₙ 은 a₁ 부터 aₙ 까지의 합이며, S₁ = a₁, Sₖ₊₁ = Sₖ + aₖ₊₁ 로 정한다.
증명.
줄임표 대신 이 두 식을 쓴다. 줄임표는 규칙이 아니라 생략이다.약속
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정의 D3
a ÷ b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
그러한 x 가 하나뿐일 때에만 a ÷ b 는 값을 갖는다.약속
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보조정리 L1
모든 자연수 n 에 대하여 aₙ₊₁ = a₁ + nd
증명.
(1)Q(n) 을 「aₙ₊₁ = a₁ + nd」라 한다.약속
(2)a₂ = a₁ + dD1
(3)1 × d = d × 1 = dA5, A6
(4)a₂ = a₁ + 1×d 이므로 Q(1) 이 성립한다.(2), (3)
(5)Q(k) 라 하자. aₖ₊₁ = a₁ + kd가정
(6)aₖ₊₂ = aₖ₊₁ + dD1
(7) = (a₁ + kd) + d(5), (6)
(8) = a₁ + (kd + d)(7), A2
(9)(k+1)d = d(k+1) = dk + d×1 = kd + dA5, A4, A6
(10)aₖ₊₂ = a₁ + (k+1)d 이므로 Q(k+1) 이 성립한다.(8), (9)
(11)그러므로 모든 n 에 대하여 Q(n) 이다.(4), (10), A1
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보조정리 L2
P(n) 을 「2Sₙ = n(a₁ + aₙ)」이라 하면 P(1) 이 성립한다.
증명.
(1)S₁ = a₁D2
(2)2S₁ = 2a₁(1), E
(3)2a₁ = (1+1)a₁ = a₁(1+1) = a₁×1 + a₁×1 = a₁ + a₁A7, A5, A4, A6
(4)1(a₁+a₁) = (a₁+a₁)×1 = a₁ + a₁A5, A6
(5)2S₁ = 1(a₁+a₁)(2), (3), (4)
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보조정리 L3
모든 자연수 k 에 대하여 P(k) 이면 P(k+1) 이다.
증명.
(1)2Sₖ = k(a₁ + aₖ) 라 하자.가정
(2)(k+1)(a₁+aₖ₊₁) = k(a₁+aₖ₊₁) + (a₁+aₖ₊₁)A5, A4, A6
(3)k(a₁+aₖ₊₁) = ka₁ + kaₖ₊₁A4
(4)aₖ₊₁ = aₖ + dD1
(5)kaₖ₊₁ = k(aₖ + d) = kaₖ + kd(4), E, A4
(6)(k+1)(a₁+aₖ₊₁) = (ka₁ + kaₖ) + (a₁ + kd) + aₖ₊₁(2), (3), (5), A2, A3
(7)ka₁ + kaₖ = k(a₁ + aₖ)A4
(8)a₁ + kd = aₖ₊₁L1
(9)aₖ₊₁ + aₖ₊₁ = aₖ₊₁(1+1) = aₖ₊₁ × 2 = 2aₖ₊₁A6, A4, A7, A5
(10)(k+1)(a₁+aₖ₊₁) = k(a₁+aₖ) + 2aₖ₊₁(6), (7), (8), (9), A2
(11) = 2Sₖ + 2aₖ₊₁(1), (10)
(12)2Sₖ + 2aₖ₊₁ = 2(Sₖ + aₖ₊₁) = 2Sₖ₊₁A4, D2
(13)2Sₖ₊₁ = (k+1)(a₁+aₖ₊₁) 이므로 P(k+1) 이 성립한다.(11), (12)
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정리 T1
모든 자연수 n 에 대하여 2Sₙ = n(a₁ + aₙ)
증명.
(1)P(1) 이 성립한다.L2
(2)모든 k 에 대하여 P(k) ⟹ P(k+1) 이다.L3
(3)그러므로 모든 n 에 대하여 P(n) 이다.(1), (2), A1
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따름정리 C
모든 자연수 n 에 대하여 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
증명.
(1)2Sₙ = n(a₁ + aₙ)T1
(2)n(a₁+aₙ) ÷ 2 는 2x = n(a₁+aₙ) 인 x 이다.D3
(3)Sₙ 은 그러한 x 이다.(1), (2)
(4)2x = 2y 이면 x = y 이므로 그러한 x 는 하나뿐이다.A8
(5)Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2(3), (4), D3
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이 증명에는 거꾸로 더하는 그림이 없다. 그 그림이 어디에 기대는지도 함께 확인하라.