PROOF 38
증명하라.
공비가 1보다 작으면 무한등비급수는 수렴한다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
무한등비급수 a + ar + ar² + … 의 값은 부분합 수열 (Sₙ) 의 극한으로 정한다.
증명.
(1)S₁ = a, Sₙ₊₁ = Sₙ + a rⁿ 으로 둔다. Sₙ 은 처음 n 개 항의 합이다.약속
(2)무한히 더한다는 말은 이 약속 밖에서 뜻을 갖지 않는다. 값이 있는지는 극한이 있는지에 달려 있다.약속
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정의 D2
lim xₙ = L 은 다음을 뜻한다. 모든 ε > 0 에 대하여 어떤 자연수 N 이 있어, n ≥ N 인 모든 n 에서 |xₙ − L| < ε 이다.
증명.
그러한 L 을 가지면 수렴한다고 하고, 그러한 L 이 없으면 발산한다고 한다.약속
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보조정리 L1
|r| < 1 이면 lim rⁿ = 0
증명.
(1)s = |r| 로 둔다. 0 ≤ s 이다.약속, A10
(2)먼저 r = 0 인 경우를 본다. 모든 n 에 대하여 rⁿ = 0 이다.A18, A13
(3)모든 ε > 0 에 대하여 |rⁿ − 0| = |0| = 0 < ε 이므로 lim rⁿ = 0 이다.(2), A19, A11, D2
(4)이제 r ≠ 0 이라 하자. 0 < s < 1 이다.가정, (1), A11
(5)t = 1/s 로 두면 s·t = 1 이고 1 < t 이다.(4), A9, A7
(6)t = 1 + h 인 h > 0 이 있다.(5), A6
(7)0 < ε 이 주어졌다고 하자.가정
(8)0 < hε 이다.(6), (7), A3, A18
(9)N(hε) > 1 인 자연수 N 이 있다.(8), A1
(10)n ≥ N 이면 N(hε) ≤ n(hε) 이므로 1 < n(hε) 이다.(9), A3, E, A4
(11)n(hε) = (nh)εA21
(12)(1+h)ⁿ ≥ 1 + nh 이고 nh < 1 + nh 이므로 nh < tⁿ 이다.(6), A2, A5, A4
(13)sⁿtⁿ = (st)ⁿ = 1ⁿ = 1(5), A20
(14)0 < sⁿ(4), A3, A18, A13
(15)sⁿ(nh) < sⁿtⁿ = 1(12), (13), (14), A3, A22
(16)sⁿ(nh) < 1 < (nh)ε 이므로 sⁿ(nh) < (nh)ε 이다.(10), (11), (15), A4
(17)0 < 1 ≤ n 이고 0 < h 이므로 0 < nh 이다.(6), A5, A4, A3, A18
(18)그러므로 sⁿ < ε 이다.(16), (17), A3, A22
(19)|rⁿ − 0| = |rⁿ| = |r|ⁿ = sⁿ < ε(18), A19, A12, A13
(20)모든 ε > 0 에 대하여 이러한 N 이 있으므로 lim rⁿ = 0 이다.(7), (9), (19), D2
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정리 T1
|r| < 1 이면 무한등비급수는 수렴하고 그 값은 a/(1 − r) 이다.
증명.
(1)r ≤ |r| < 1 이므로 r < 1 이다. r = 1 이면 1 < 1 이 되어 어긋나므로 r ≠ 1 이다.가정, A10, A4, A8, E
(2)Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)(1), A14
(3)C = a/(1−r) 로 두면 Sₙ = C(1 − rⁿ) 이다.(2), A23, 약속
(4)C(1−rⁿ) = C×1 − C rⁿ = C − C rⁿA24, A25
(5)lim rⁿ = 0L1
(6)lim C rⁿ = C · lim rⁿ = C × 0 = 0(5), A15, A18
(7)lim Sₙ = lim(C − C rⁿ) = C − lim C rⁿ = C − 0 = C(3), (4), (6), A16, A19
(8)그러므로 급수는 수렴하고 그 값은 a/(1 − r) 이다.(7), D1
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따름정리 C
a ≠ 0 이고 1 ≤ |r| 이면 (Sₙ) 은 발산한다.
증명.
(1)Sₙ₊₁ − Sₙ = a rⁿD1, A26
(2)|a rⁿ| = |a| |r|ⁿA12, A13
(3)1 ≤ |r| 이므로 1 ≤ |r|ⁿ 이다.가정, A13, A3, E
(4)a ≠ 0 이므로 0 < |a| 이다.가정, A11, A10
(5)|a| = |a|×1 ≤ |a| |r|ⁿ(3), (4), A25, A3, E
(6)(Sₙ) 이 L 로 수렴한다고 하자.가정
(7)Sₙ₊₁ − Sₙ → 0 이다.(6), A17
(8)D2 에서 ε = |a| 로 잡으면 어떤 N 이후로 |(Sₙ₊₁ − Sₙ) − 0| < |a| 이다.(4), (7), D2
(9)그런데 |(Sₙ₊₁ − Sₙ) − 0| = |a rⁿ| 이고 |a| ≤ |a rⁿ| 이다.(1), (2), (5), A19
(10)그러면 |a| < |a| 가 되어 어긋난다. 그러므로 (Sₙ) 은 수렴하지 않는다.(8), (9), A4, A8
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
sⁿ 이 계속 작아진다는 것과, 주어진 ε 아래로 내려간다는 것은 다른 말이다. 그 둘을 잇는 줄을 찾아라.