MathIsland 유튜브유튜브 보기

PROOF 38

증명하라.

공비가 1보다 작으면 무한등비급수는 수렴한다

실수 ℝ 위에서.

쓸 수 있는 것

A10<a, 0<b ⟹ na > b 인 n
아르키메데스 성질
A2(1+h)ⁿ ≥ 1 + nh (h>0)
베르누이 부등식
A30<c ⟹ (a<b ⟺ ac<bc)
순서 공리 (양수 곱)
A4a ≤ b ≤ c, 하나가 < ⟹ a<c
순서의 추이성
A50 < 1, a < 1 + a
순서 공리 (1 은 양수)
A6a < b ⟹ b = a+h 인 h>0
차의 존재
A70 < a < 1 ⟹ 1 < 1/a
역수의 순서
A8a < a 는 성립하지 않는다
순서 공리 (비반사성)
A9a ≠ 0 ⟹ a·(1/a) = 1
곱셈 역원
A100 ≤ |a|, a ≤ |a|
절댓값의 뜻
A11|a| = 0 ⟺ a = 0
절댓값과 0
A12|ab| = |a| |b|
절댓값과 곱
A13P(1), P(k)→P(k+1)⟹∀nP(n)
귀납 공리
A14Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)
등비수열의 합 (37편, r ≠ 1)
A15lim c·xₙ = c·lim xₙ
극한의 상수배
A16lim(c − xₙ) = c − lim xₙ
극한과 상수의 차
A17xₙ → L ⟹ xₙ₊₁ − xₙ → 0
수렴 수열의 이웃 차
A18a × 0 = 0
0을 곱하면 0
A19a − 0 = a
0을 빼도 그대로
A20(ab)ⁿ = aⁿbⁿ, 1ⁿ = 1
지수법칙
A21(ab)c = a(bc)
곱셈 결합법칙
A22ab = ba
곱셈 교환법칙
A23(ab)/c = (a/c)b
나눗셈의 자리
A24a(b − c) = ab − ac
분배법칙 (뺄셈 꼴)
A25a × 1 = a
곱셈 항등원
A26(a + b) − a = b
뺄셈의 되돌림
Ea = b ⟹ 양변에 같은 연산
등식의 성질

이 목록에 없는 것은 인용할 수 없다.

정의 D1

무한등비급수 a + ar + ar² + … 의 값은 부분합 수열 (Sₙ) 의 극한으로 정한다.

증명.

관련 실험실

극한 실험실 →수열 실험실 →