PROOF 37
증명하라.
등비수열의 합
실수 수열 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
수열 (aₙ) 은 첫항 a₁ = a 와 공비 r 로 aₙ₊₁ = r aₙ 을 만족한다.
증명.
이 식은 각 자연수 n 에 대하여 aₙ 을 하나로 정한다. r 은 n 에 따라 변하지 않는다.약속
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정의 D2
Sₙ 은 a₁ 부터 aₙ 까지의 합이며, S₁ = a₁, Sₖ₊₁ = Sₖ + aₖ₊₁ 로 정한다.
증명.
줄임표 대신 이 두 식을 쓴다. 줄임표는 규칙이 아니라 생략이다.약속
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정의 D3
a ÷ b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
그러한 x 가 하나뿐일 때에만 a ÷ b 는 값을 갖는다.약속
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보조정리 L1
모든 자연수 n 에 대하여 aₙ₊₁ = a rⁿ
증명.
(1)Q(n) 을 「aₙ₊₁ = a rⁿ」이라 한다.약속
(2)a₂ = r a₁ = r a = a rD1, A4
(3)a r = a r¹ 이므로 Q(1) 이 성립한다.(2), A7
(4)Q(k) 라 하자. aₖ₊₁ = a rᵏ가정
(5)aₖ₊₂ = r aₖ₊₁ = r(a rᵏ)D1, (4)
(6)r(a rᵏ) = (a rᵏ)r = a(rᵏ·r)A4, A5
(7)rᵏ·r = rᵏ⁺¹A7
(8)aₖ₊₂ = a rᵏ⁺¹ 이므로 Q(k+1) 이 성립한다.(5), (6), (7)
(9)그러므로 모든 n 에 대하여 Q(n) 이다.(3), (8), A1
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정리 T1
모든 자연수 n 에 대하여 (1 − r)Sₙ = a(1 − rⁿ)
증명.
(1)P(n) 을 「(1−r)Sₙ = a(1−rⁿ)」이라 한다.약속
(2)S₁ = aD2, D1
(3)(1−r)S₁ = (1−r)a = a(1−r) = a(1−r¹) 이므로 P(1) 이 성립한다.(2), A4, A7
(4)P(k) 라 하자. (1−r)Sₖ = a(1−rᵏ)가정
(5)Sₖ₊₁ = Sₖ + aₖ₊₁D2
(6)(1−r)Sₖ₊₁ = (1−r)Sₖ + (1−r)aₖ₊₁(5), E, A2
(7)aₖ₊₁ = a rᵏL1
(8)(1−r)a rᵏ = a rᵏ − (a rᵏ)r = a rᵏ − a rᵏ⁺¹(7), A4, A3, A6, A5, A7
(9)a(1−rᵏ) = a×1 − a rᵏ = a − a rᵏA3, A6
(10)(1−r)Sₖ₊₁ = (a − a rᵏ) + (a rᵏ − a rᵏ⁺¹)(6), (4), (8), (9)
(11)(a − a rᵏ) + (a rᵏ − a rᵏ⁺¹) = a − a rᵏ⁺¹A8
(12)a − a rᵏ⁺¹ = a×1 − a rᵏ⁺¹ = a(1 − rᵏ⁺¹)A6, A3
(13)(1−r)Sₖ₊₁ = a(1−rᵏ⁺¹) 이므로 P(k+1) 이 성립한다.(10), (11), (12)
(14)그러므로 모든 n 에 대하여 P(n) 이다.(3), (13), A1
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정리 T2
r ≠ 1 이면 모든 자연수 n 에 대하여 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)
증명.
(1)(1−r)Sₙ = a(1−rⁿ)T1
(2)r ≠ 1 이라 하자.가정
(3)1 − r = 0 이면 (1−r) + r = 0 + r 에서 1 = r 이다.A9, A10, E
(4)그러므로 1 − r ≠ 0 이다.(2), (3)
(5)(1−r)·(1−r)⁻¹ = 1 인 수 (1−r)⁻¹ 가 있다.(4), A11
(6)(1−r)x = (1−r)y 이면 양변에 (1−r)⁻¹ 를 곱하여 x = y 를 얻는다.(5), E, A4, A5, A6
(7)a(1−rⁿ) ÷ (1−r) 은 (1−r)x = a(1−rⁿ) 인 x 이다.D3
(8)Sₙ 은 그러한 x 이고, 그러한 x 는 하나뿐이다.(1), (6), (7)
(9)Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)(8), D3
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비고
A11 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
항등식과 닫힌 꼴은 다른 것이다. 나눗셈을 쓰는 줄이 어디인지 확인하라.