PROOF 84
증명하라.
제곱수가 아니면 √n 은 무리수다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
s/t 는 t × x = s 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
t ≠ 0 이면 그러한 x 는 하나뿐이다. 이 표기를 쓰면 나눗셈 없이 식을 옮길 수 있다.약속
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정의 D2
n 이 제곱수라는 것은 n = m² 인 자연수 m 이 있음을 뜻한다.
증명.
n 은 1 이상의 자연수로 둔다.약속
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정의 D3
vₚ(a) 는 a 의 소인수분해에서 소수 p 가 갖는 지수다.
증명.
(1)a = ∏ p^vₚ(a) 이고, 이 값은 A1 이 하나로 정한다.A1
(2)a 를 나누지 않는 소수에서는 vₚ(a) = 0 이다.(1)
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보조정리 L1
모든 소수 p 에 대하여 vₚ(ab) = vₚ(a) + vₚ(b)
증명.
(1)a = ∏ p^vₚ(a) 이고 b = ∏ p^vₚ(b)D3
(2)ab = ∏ p^(vₚ(a)+vₚ(b))(1), A2, A5, A6
(3)소인수분해는 하나뿐이므로 그것이 ab 의 지수다.(2), A1, D3
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보조정리 L2
모든 소수 p 에 대하여 vₚ(m²) 은 짝수다.
증명.
(1)vₚ(m²) = vₚ(m) + vₚ(m)L1
(2)2x 는 x + x 를 뜻한다.약속
(3)그러므로 vₚ(m²) = 2vₚ(m) 이고 짝수다.(1), (2)
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보조정리 L3
모든 소수에서 vₚ(n) 이 짝수이면 n 은 제곱수다.
증명.
(1)vₚ(n) = 2fₚ 인 자연수 fₚ 가 있다.가정
(2)n = ∏ p^(2fₚ)(1), D3
(3)m = ∏ p^fₚ 로 두면 m² = ∏ p^(fₚ+fₚ)A2, A5, A6
(4)fₚ + fₚ = 2fₚ 이므로 m² = n(2), (3)
(5)그러므로 n 은 제곱수다.(4), D2
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정리 T
n 이 제곱수가 아니면 x² = n 을 만족하는 유리수 x 는 존재하지 않는다.
증명.
(1)그러한 유리수 x 가 있다고 하자.가정
(2)(−x)² = x² 이므로 x > 0 인 경우만 보면 된다.(1), A7, 약속
(3)x = s/t 인 자연수 s, t 가 있다.(2), A4
(4)t × x = s(3), D1
(5)(tx)(tx) = s × s, 즉 t²x² = s²(4), E, A5, A6
(6)x² = n 이므로 n t² = s²(1), (5), A5
(7)임의의 소수 p 에서 vₚ(n) + vₚ(t²) = vₚ(s²)(6), L1
(8)vₚ(t²) 과 vₚ(s²) 은 짝수다.L2
(9)그러므로 vₚ(n) 도 짝수다.(7), (8), A3
(10)모든 소수에서 짝수이므로 n 은 제곱수다.(9), L3
(11)이는 n 이 제곱수가 아니라는 가정에 모순이다.(10), 가정
(12)그러한 x 는 없다.(11)
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따름정리 C
n 이 제곱수이면 x² = n 인 유리수 x 가 있다.
증명.
(1)n = m² 인 자연수 m 이 있다.가정, D2
(2)m = m/1 이므로 m 은 유리수다.D1
(3)x = m 이 x² = n 을 만족한다.(1), (2)
(4)n = 4 이면 m = 2 이고, 2² = 4 이다.(1), (3)
(5)4 는 제곱수이므로 정리의 가정을 만족하지 않는다. √4 가 예외인 까닭이다.(4), D2
(6)그러므로 정리에서 '제곱수가 아니면' 이라는 조건은 뺄 수 없다.(3), (5)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
이 증명이 세는 것은 소인수의 지수다. 그 값이 언제 정해지는지 확인하라.