p · 소수
모든 수를 짓는 곱셈의 원자, 소수
12는 2×6, 3×4, 2×2×3으로 쪼개진다. 그럼 더 이상 쪼갤 수 없는 수는 무엇일까?
2,300년 전 유클리드가 '영원히 끝나지 않는다'를 증명한 수
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
물질을 쪼개면 원자가 나오듯, 자연수를 곱셈으로 쪼개면 더 이상 쪼개지지 않는 수에 도달합니다. 이 곱셈의 원자가 소수예요.
핵심은 분해가 유일하다는 것입니다. 60은 2²×3×5 외의 소수 조합으로는 절대 만들어지지 않아요(산술의 기본정리). 이 유일성 덕분에 수의 구조를 소수로 완전히 해부할 수 있습니다.
그리고 20세기에 뜻밖의 쓸모가 발견됐습니다. 큰 소수 둘을 곱하기는 순식간이지만, 그 곱을 도로 쪼개기는 슈퍼컴퓨터로도 수십억 년이 걸려요. 이 비대칭이 인터넷 암호(RSA)의 심장이 됐습니다.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 2부터 100까지 중에서 소수(더 이상 곱셈으로 쪼갤 수 없는 수)는 몇 개일까요?
체 돌리기 — 배수를 차례로 걸러내세요
소수의 배수는 소수가 아닙니다. 2, 3, 5, 7의 배수를 차례로 지우면 무엇이 남을까요?
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
소수는 1보다 큰 자연수를 곱셈으로 분해할 때 더 쪼개지지 않는 재료입니다. 여기서 쪼갠다는 것은 덧셈이 아니라 양의 정수의 곱으로 나타낸다는 뜻입니다.
60=2²×3×5입니다. 6×10에서 시작하든 4×15에서 시작하든 소수까지 분해하면 같은 재료가 남습니다. 몇 가지 예가 유일성을 증명하지는 않지만, 무엇을 증명할지 보여줍니다.
소수는 자연수의 원소 주기율표다.
화학자가 물질을 원소로 분해해 이해하듯, 수학자는 수를 소수로 분해해 이해합니다. 약수, 배수, 최대공약수가 전부 소인수분해 한 장으로 읽혀요.
당신의 카드 결제는 소수가 지킨다.
https의 자물쇠 아이콘 뒤에는 600자리 소수 두 개의 곱이 있습니다. '쪼개기 어려움'이라는 순수수학의 성질이 그대로 보안이 된 것이에요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
소인수분해의 기본정리는 n>1인 자연수에 대한 진술입니다. 1은 소수가 아니며 0을 같은 방식으로 분해하지 않습니다.
체로 걸러낸 것과 기계가 확인해준 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇게 됩니다.
공식 해부 — 소인수분해 기계와 짝지어 보기
= × ×
소수의 정의
곱셈으로 더 이상 쪼갤 수 없는 수입니다. 2, 3, 5, 7, 11처럼 체에 남은 수들이에요.
산술의 기본정리
모든 자연수는 소수의 곱으로 분해되고, 그 방법은 순서를 빼면 단 하나입니다. 기계가 늘 같은 답을 낸 이유예요.
소수의 무한성 (유클리드)
소수가 유한하다고 가정하고 전부 곱해 1을 더하면, 그 수는 목록의 어떤 소수로도 나눠지지 않습니다. 모순이에요. 소수는 끝나지 않습니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
1도 소수다.
1을 소수로 치면 12 = 2²×3 = 1×2²×3 = 1²×2²×3처럼 분해가 무한 가지가 되어 '유일한 분해'가 깨집니다. 1을 빼는 것은 규칙의 예외가 아니라 유일성을 지키기 위한 선택이에요.
수가 커질수록 소수는 결국 없어질 것이다.
소수는 무한히 많습니다. 유클리드가 2,300년 전에 증명했어요. 드물어질 뿐 끊기지 않으며, 지금도 수백만 자리 소수가 계속 발견되고 있습니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
인터넷 암호 (RSA)
공개키 암호는 '큰 소수 둘의 곱은 공개해도, 원래 소수 둘은 알아낼 수 없다'는 비대칭 위에 서 있습니다. 카드 결제, 메신저, 인터넷뱅킹의 자물쇠예요.
매미의 13년·17년 주기
북미 매미는 13년, 17년이라는 소수 주기로 땅 위에 올라옵니다. 천적의 2, 3, 4년 주기와 겹치는 해가 가장 적도록 진화가 소수를 골랐어요.
해시테이블과 난수
자료구조의 해시 함수와 난수 생성기는 소수 크기의 나머지 연산을 즐겨 씁니다. 충돌과 반복 패턴이 가장 적어지기 때문이에요.
기어 설계
맞물리는 두 기어의 톱니 수를 서로소(공약수 1)로 만들면 같은 톱니끼리 만나는 주기가 가장 길어집니다. 닳는 정도가 고르게 나뉘어요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
소수도 1과 자기 자신을 곱하면 만들 수 있는데 왜 더 못 쪼갠다고 하나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
1보다 큰 두 자연수의 곱으로는 쓸 수 없다는 뜻입니다. 어떤 연산과 재료를 허용하는지 함께 말해야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 1은 소수일까요?
2. 51은 소수일까요?
3. 수가 커질수록 소수가 드물어집니다. 그럼 소수는 언젠가 끝날까요?
4. 2³ × 3²으로 소인수분해되는 수(72)의 약수는 모두 몇 개일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q191은 소수일까요?답 보기 ▾
아닙니다. 91 = 7×13이에요. 2, 3, 5로 안 나눠져서 소수처럼 보이지만 7에서 걸립니다. √91 ≈ 9.5이므로 7까지만 확인하면 충분했죠. 체에서 7의 배수까지 걸렀던 이유입니다.
Q2100 이하의 소수를 거를 때 왜 7의 배수까지만 지우면 끝날까요?답 보기 ▾
합성수 n은 반드시 √n 이하의 소인수를 가집니다. 100 이하 합성수는 √100=10 이하의 소인수, 즉 2, 3, 5, 7 중 하나로 나눠져요. 그래서 7까지 거르면 남는 것은 전부 소수입니다.
Q32¹⁰⁰처럼 큰 수의 약수 개수를 소인수분해로 셀 수 있을까요? 720의 약수는 몇 개일까요?답 보기 ▾
720 = 2⁴×3²×5이므로 약수 개수는 (4+1)(2+1)(1+1) = 30개입니다. 각 소인수를 몇 번 쓸지 고르는 경우의 수예요. 유일 분해 덕분에 세는 게 가능해집니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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