2,300년 전 유클리드가 '영원히 끝나지 않는다'를 증명한 수
12는 2×6, 3×4, 2×2×3으로 쪼개진다. 그럼 더 이상 쪼갤 수 없는 수는 무엇일까?
모든 수를 짓는 곱셈의 원자, 소수
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 2부터 100까지 중에서 소수(더 이상 곱셈으로 쪼갤 수 없는 수)는 몇 개일까요?
체 돌리기 — 배수를 차례로 걸러내세요
소수의 배수는 소수가 아닙니다. 2, 3, 5, 7의 배수를 차례로 지우면 무엇이 남을까요?
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
물질을 쪼개면 원자가 나오듯, 자연수를 곱셈으로 쪼개면 더 이상 쪼개지지 않는 수에 도달합니다. 이 곱셈의 원자가 소수예요.
핵심은 분해가 유일하다는 것입니다. 60은 2²×3×5 외의 소수 조합으로는 절대 만들어지지 않아요(산술의 기본정리). 이 유일성 덕분에 수의 구조를 소수로 완전히 해부할 수 있습니다.
그리고 20세기에 뜻밖의 쓸모가 발견됐습니다. 큰 소수 둘을 곱하기는 순식간이지만, 그 곱을 도로 쪼개기는 슈퍼컴퓨터로도 수십억 년이 걸려요. 이 비대칭이 인터넷 암호(RSA)의 심장이 됐습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“소수는 자연수의 원소 주기율표다.”
화학자가 물질을 원소로 분해해 이해하듯, 수학자는 수를 소수로 분해해 이해합니다. 약수, 배수, 최대공약수가 전부 소인수분해 한 장으로 읽혀요.
“당신의 카드 결제는 소수가 지킨다.”
https의 자물쇠 아이콘 뒤에는 600자리 소수 두 개의 곱이 있습니다. '쪼개기 어려움'이라는 순수수학의 성질이 그대로 보안이 된 것이에요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
1도 소수다.
1을 소수로 치면 12 = 2²×3 = 1×2²×3 = 1²×2²×3처럼 분해가 무한 가지가 되어 '유일한 분해'가 깨집니다. 1을 빼는 것은 규칙의 예외가 아니라 유일성을 지키기 위한 선택이에요.
수가 커질수록 소수는 결국 없어질 것이다.
소수는 무한히 많습니다. 유클리드가 2,300년 전에 증명했어요. 드물어질 뿐 끊기지 않으며, 지금도 수백만 자리 소수가 계속 발견되고 있습니다.
Formula
수식으로 정리하기
체로 걸러낸 것과 기계가 확인해준 것을 수학의 언어로 쓰면 이렇게 됩니다.
공식 해부 — 소인수분해 기계와 짝지어 보기
= × ×
소수의 정의
곱셈으로 더 이상 쪼갤 수 없는 수입니다. 2, 3, 5, 7, 11처럼 체에 남은 수들이에요.
산술의 기본정리
모든 자연수는 소수의 곱으로 분해되고, 그 방법은 순서를 빼면 단 하나입니다. 기계가 늘 같은 답을 낸 이유예요.
소수의 무한성 (유클리드)
소수가 유한하다고 가정하고 전부 곱해 1을 더하면, 그 수는 목록의 어떤 소수로도 나눠지지 않습니다. 모순이에요. 소수는 끝나지 않습니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
인터넷 암호 (RSA)
공개키 암호는 '큰 소수 둘의 곱은 공개해도, 원래 소수 둘은 알아낼 수 없다'는 비대칭 위에 서 있습니다. 카드 결제, 메신저, 인터넷뱅킹의 자물쇠예요.
매미의 13년·17년 주기
북미 매미는 13년, 17년이라는 소수 주기로 땅 위에 올라옵니다. 천적의 2, 3, 4년 주기와 겹치는 해가 가장 적도록 진화가 소수를 골랐어요.
해시테이블과 난수
자료구조의 해시 함수와 난수 생성기는 소수 크기의 나머지 연산을 즐겨 씁니다. 충돌과 반복 패턴이 가장 적어지기 때문이에요.
기어 설계
맞물리는 두 기어의 톱니 수를 서로소(공약수 1)로 만들면 같은 톱니끼리 만나는 주기가 가장 길어집니다. 닳는 정도가 고르게 나뉘어요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
1은 소수일까요?
51은 소수일까요?
수가 커질수록 소수가 드물어집니다. 그럼 소수는 언젠가 끝날까요?
2³ × 3²으로 소인수분해되는 수(72)의 약수는 모두 몇 개일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
Connection
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