nCr · 경우의 수
빠짐없이, 중복 없이 세는 기술, 경우의 수
티셔츠 3벌과 바지 2벌. 코디는 몇 가지일까? 3+2=5? 3×2=6?
로또 1등 확률의 분모, 814만 5060
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
확률은 '해당 경우 ÷ 전체 경우'입니다. 분모와 분자가 모두 경우의 수예요. 세는 것을 틀리면 확률 전체가 무너집니다. 도박사들의 질문에 답하던 파스칼과 페르마의 편지가 이 분야의 출발점이에요.
그런데 나열해서 세는 것은 금방 한계에 부딪힙니다. 로또 조합 814만 개를 나열할 수는 없어요. 나열 없이 세는 법칙이 필요했습니다.
곱의 법칙과 합의 법칙, 그리고 순서의 유무(순열과 조합)라는 세 가지 도구만으로 거대한 세기가 가능해집니다. 비밀번호의 안전성, 유전자 조합, 네트워크 경로를 전부 이 도구로 세요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 티셔츠 3벌, 바지 2벌. 가능한 코디는 몇 가지일까요?
코디를 하나씩 채워보세요
격자의 칸을 눌러 코디를 완성하세요. 몇 칸이 채워지는지 세어봅시다.
채운 코디: 0 / 6
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
경우의 수는 많이 세는 기술이 아니라 빠짐없이, 중복 없이 분류하는 기술입니다. 서로 다른 선택이 이어질 때 곱하고, 겹치지 않는 갈래를 합칠 때 더합니다.
상의 두 가지와 하의 세 가지를 자유롭게 고르면 2×3=6가지입니다. 반면 어떤 조합이 금지되어 있다면 그대로 곱할 수 없습니다. 먼저 선택들이 어떤 제약으로 연결되는지 확인해야 합니다.
세기는 수학에서 가장 오래된 기술이자 가장 틀리기 쉬운 기술이다.
빠뜨리거나(누락) 두 번 세거나(중복), 세기의 실수는 이 둘뿐입니다. 곱셈과 덧셈 법칙, 순열과 조합은 누락과 중복을 막는 안전장치예요.
로또의 814만은 나열이 아니라 계산으로 나온다.
45×44×43×42×41×40을 6!로 나누면 8,145,060입니다. 곱셈 몇 번이면 우주적 크기의 가짓수가 손안에 들어와요. 나열 없이 세는 힘입니다.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
순서를 구별하는지, 같은 것을 다시 고를 수 있는지, 갈래끼리 겹치는지 먼저 정합니다.
코디 격자와 뽑기 실험에서 발견한 규칙을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 뽑기 실험과 짝지어 보기
= ÷
곱의 법칙 · 합의 법칙
단계를 모두 거치면 곱하고, 갈래 중 하나만 고르면 더합니다. 모든 세기의 두 기둥이에요.
순열 (순서 있음)
n명 중 r명을 뽑아 줄 세우기입니다. 첫 자리 n가지 그리고 다음 자리 (n−1)가지로 이어지는 곱의 법칙의 연쇄예요.
조합 (순서 없음)
순서를 무시하면 같은 묶음이 r!번씩 중복됩니다. 그래서 r!로 나눠요. 로또 814만의 정체입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
선택지가 여러 단계면 무조건 더한다.
'그리고'(모든 단계를 통과)는 곱하고, '또는'(한쪽만 고름)은 더합니다. 티셔츠를 입고 그리고 바지를 입으면 3×2예요. 치킨 또는 피자 중 하나만 고르면 3+2입니다.
3명 중 2명을 뽑는 답은 항상 3×2=6이다.
회장과 부회장(순서 있음)이면 6이 맞지만, 청소 당번 2명(순서 없음)이면 (철수,영희)와 (영희,철수)가 같은 경우입니다. 6÷2=3이에요. '순서가 중요한가'를 묻는 것이 세기의 절반입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
확률의 분모
로또 1등 확률 1/8,145,060, 포커 로열플러시 1/649,740처럼 모든 확률 계산의 분모가 경우의 수입니다. 세기가 틀리면 확률이 틀려요.
비밀번호의 안전성
숫자 4자리는 10⁴=1만 가지, 영문+숫자 8자리는 36⁸으로 약 2.8조 가지입니다. 해커가 전부 시도하는 시간이 곧 보안 강도예요. 경우의 수가 방패입니다.
유전과 생물학
부모의 유전자 조합, DNA 염기서열의 가짓수(4ⁿ)처럼 유전학의 확률 계산은 멘델의 완두콩부터 경우의 수였습니다.
일정·경로 최적화
도시 10곳을 도는 순서는 10! = 362만 가지입니다. 경우의 수가 폭발하기에 최적화 알고리즘이 필요해져요. 조합 폭발은 컴퓨터과학의 중심 문제입니다.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
A 다음 B와 B 다음 A를 같은 경우로 보면 무엇이 달라지나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
순서를 구별해 센 결과에서 같은 선택 묶음이 여러 번 세어집니다. 그 중복 구조를 정리해야 합니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 티셔츠 4벌과 바지 3벌로 만들 수 있는 코디는 몇 가지일까요?
2. 치킨 3종과 피자 2종 중에서 딱 한 가지만 주문한다면 선택지는 몇 가지일까요?
3. 4명 중에서 청소 당번 2명을 뽑는 경우의 수는?
4. 동전을 5번 던질 때 나올 수 있는 결과(순서 포함)는 모두 몇 가지일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1메인 메뉴 4가지, 음료 3가지로 세트를 만들면 몇 가지일까요?답 보기 ▾
메인을 고르고 '그리고' 음료를 고르므로 4×3 = 12가지입니다. 메인 또는 음료 중 하나만 고른다면 4+3 = 7가지겠죠.
Q25명 중 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는? 대표 2명을 뽑는다면?답 보기 ▾
회장과 부회장은 순서가 있어 5×4 = 20가지입니다. 대표 2명은 순서가 없어 20÷2 = 10가지예요. 같은 '2명 뽑기'라도 순서의 유무가 답을 바꿉니다.
Q3동전을 10번 던질 때 나올 수 있는 결과(순서 포함)는 모두 몇 가지일까요?답 보기 ▾
매번 2가지가 10번 '그리고'로 이어지므로 2¹⁰ = 1,024가지입니다. 곱의 법칙이 거듭제곱을 낳아요. 경우의 수와 지수의 만남입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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관련 실험실
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