로또 1등 확률의 분모, 814만 5060
티셔츠 3벌과 바지 2벌. 코디는 몇 가지일까? 3+2=5? 3×2=6?
빠짐없이, 중복 없이 세는 기술, 경우의 수
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예측 먼저 — 티셔츠 3벌, 바지 2벌. 가능한 코디는 몇 가지일까요?
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더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
확률은 '해당 경우 ÷ 전체 경우'입니다. 분모와 분자가 모두 경우의 수예요. 세는 것을 틀리면 확률 전체가 무너집니다. 도박사들의 질문에 답하던 파스칼과 페르마의 편지가 이 분야의 출발점이에요.
그런데 나열해서 세는 것은 금방 한계에 부딪힙니다. 로또 조합 814만 개를 나열할 수는 없어요. 나열 없이 세는 법칙이 필요했습니다.
곱의 법칙과 합의 법칙, 그리고 순서의 유무(순열과 조합)라는 세 가지 도구만으로 거대한 세기가 가능해집니다. 비밀번호의 안전성, 유전자 조합, 네트워크 경로를 전부 이 도구로 세요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“세기는 수학에서 가장 오래된 기술이자 가장 틀리기 쉬운 기술이다.”
빠뜨리거나(누락) 두 번 세거나(중복), 세기의 실수는 이 둘뿐입니다. 곱셈과 덧셈 법칙, 순열과 조합은 누락과 중복을 막는 안전장치예요.
“로또의 814만은 나열이 아니라 계산으로 나온다.”
45×44×43×42×41×40을 6!로 나누면 8,145,060입니다. 곱셈 몇 번이면 우주적 크기의 가짓수가 손안에 들어와요. 나열 없이 세는 힘입니다.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
선택지가 여러 단계면 무조건 더한다.
'그리고'(모든 단계를 통과)는 곱하고, '또는'(한쪽만 고름)은 더합니다. 티셔츠를 입고 그리고 바지를 입으면 3×2예요. 치킨 또는 피자 중 하나만 고르면 3+2입니다.
3명 중 2명을 뽑는 답은 항상 3×2=6이다.
회장과 부회장(순서 있음)이면 6이 맞지만, 청소 당번 2명(순서 없음)이면 (철수,영희)와 (영희,철수)가 같은 경우입니다. 6÷2=3이에요. '순서가 중요한가'를 묻는 것이 세기의 절반입니다.
Formula
수식으로 정리하기
코디 격자와 뽑기 실험에서 발견한 규칙을 수학의 언어로 쓰면 이렇습니다.
공식 해부 — 뽑기 실험과 짝지어 보기
= ÷
곱의 법칙 · 합의 법칙
단계를 모두 거치면 곱하고, 갈래 중 하나만 고르면 더합니다. 모든 세기의 두 기둥이에요.
순열 (순서 있음)
n명 중 r명을 뽑아 줄 세우기입니다. 첫 자리 n가지 그리고 다음 자리 (n−1)가지로 이어지는 곱의 법칙의 연쇄예요.
조합 (순서 없음)
순서를 무시하면 같은 묶음이 r!번씩 중복됩니다. 그래서 r!로 나눠요. 로또 814만의 정체입니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
확률의 분모
로또 1등 확률 1/8,145,060, 포커 로열플러시 1/649,740처럼 모든 확률 계산의 분모가 경우의 수입니다. 세기가 틀리면 확률이 틀려요.
비밀번호의 안전성
숫자 4자리는 10⁴=1만 가지, 영문+숫자 8자리는 36⁸으로 약 2.8조 가지입니다. 해커가 전부 시도하는 시간이 곧 보안 강도예요. 경우의 수가 방패입니다.
유전과 생물학
부모의 유전자 조합, DNA 염기서열의 가짓수(4ⁿ)처럼 유전학의 확률 계산은 멘델의 완두콩부터 경우의 수였습니다.
일정·경로 최적화
도시 10곳을 도는 순서는 10! = 362만 가지입니다. 경우의 수가 폭발하기에 최적화 알고리즘이 필요해져요. 조합 폭발은 컴퓨터과학의 중심 문제입니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
티셔츠 4벌과 바지 3벌로 만들 수 있는 코디는 몇 가지일까요?
치킨 3종과 피자 2종 중에서 딱 한 가지만 주문한다면 선택지는 몇 가지일까요?
4명 중에서 청소 당번 2명을 뽑는 경우의 수는?
동전을 5번 던질 때 나올 수 있는 결과(순서 포함)는 모두 몇 가지일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
개념은 이어진다
다음 개념으로 연결
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