PROOF 181
증명하라.
생일 문제는 여사건으로 센다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
사건 A 에 대하여 Aᶜ 는 Ω 의 결과 중 A 에 속하지 않는 것 전체를 뜻한다.
증명.
Aᶜ 는 A 가 일어나지 않는다는 사건이다.약속
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보조정리 L1
모든 사건 A 에 대하여 P(Aᶜ) = 1 − P(A)
증명.
(1)A ∪ Aᶜ = Ω 이고 A ∩ Aᶜ = ∅ 이다.D1, A4
(2)두 사건은 배반이므로 P(A) + P(Aᶜ) = P(Ω)(1), A3
(3)P(Ω) = 1A2
(4)P(A) + P(Aᶜ) = 1(2), (3)
(5)양변에서 P(A) 를 빼면 P(Aᶜ) = 1 − P(A)(4), E
(6)특히 P(Aᶜ) ≥ 0 이므로 P(A) ≤ 1 이다.(5), A1, N
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정의 D2
1 년을 365 일로 두고, Ω 를 n 명에게 생일을 하나씩 배정한 결과 전체라 한다. A 를 「적어도 두 사람의 생일이 같다」는 사건이라 한다.
증명.
(1)한 결과는 (b₁, …, bₙ) 이며 각 bᵢ 는 365 일 중 하나다.약속
(2)그러므로 Aᶜ 는 「n 명의 생일이 모두 다르다」는 사건이다.(1), D1
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보조정리 L2
|Ω| = 365ⁿ
증명.
(1)b₁ 에 올 수 있는 것은 365 가지다.D2
(2)자리는 n 개이고, 자리마다 다른 자리의 제약을 받지 않는다.D2
(3)각 단계의 가짓수를 곱하면 |Ω| = 365ⁿ(1), (2), A5
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보조정리 L3
n ≤ 365 이면 |Aᶜ| = 365 · 364 ⋯ (365 − n + 1)
증명.
(1)n ≤ 365 라 하자.가정
(2)b₁ 에 올 수 있는 것은 365 가지다.D2
(3)b₂ 는 b₁ 과 달라야 하므로 364 가지다.(2), D2
(4)같은 방식으로 bᵢ 는 앞의 i−1 개와 모두 달라야 하므로 365 − (i−1) 가지다.(1), (3), D2
(5)각 단계의 가짓수를 곱하면 |Aᶜ| = 365 · 364 ⋯ (365 − n + 1)(2), (3), (4), A5
(6)이 곱을 (365)ₙ 으로 적는다.(5), 약속
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정리 T1
n ≤ 365 이면 P(Aᶜ) = (365)ₙ / 365ⁿ
증명.
(1)Ω 의 결과는 모두 같은 확률이므로 P(Aᶜ) = |Aᶜ| / |Ω|A6
(2)|Aᶜ| = (365)ₙL3
(3)|Ω| = 365ⁿL2
(4)P(Aᶜ) = (365)ₙ / 365ⁿ(1), (2), (3)
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정리 T2
n ≤ 365 이면 P(A) = 1 − (365)ₙ / 365ⁿ
증명.
(1)P(Aᶜ) = 1 − P(A)L1
(2)P(A) = 1 − P(Aᶜ)(1), E
(3)P(Aᶜ) = (365)ₙ / 365ⁿT1
(4)P(A) = 1 − (365)ₙ / 365ⁿ(2), (3)
(5)Aᶜ 는 자리마다 조건이 하나씩 붙으므로 곱의 법칙이 그대로 적용된다. A 는 같은 생일인 쌍이 서로 겹칠 수 있어 한 번의 곱으로 세어지지 않는다.L3, D2, A5
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
365 일이 모두 같은 확률이라는 것은 무대의 가정이지 확률의 공리가 아니다. 제거하면 어디까지 남는지 확인하라.