체스판 한 칸마다 쌀알을 2배로 놓아 달라던 현자
두께 0.1mm인 종이를 42번 접으면, 그 두께는 어디까지 닿을까?
반복되는 곱셈에 붙인 이름, 거듭제곱
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 두께 0.1mm 종이를 42번 접으면 두께는 어디까지 닿을까요?
직접 접어보세요
0번 접음
0.1mm
지금 두께
지금 접기 = 지금 표기
한 번 접어보세요. 접을 때마다 표기가 함께 자랍니다.
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2처럼 같은 수를 반복해서 곱하는 일은 세상 어디에나 있습니다. 세포 분열, 이자, 데이터 용량처럼요. 그런데 이걸 매번 다 쓰는 건 고역이에요.
그래서 '2를 10번 곱했다'를 2¹⁰이라고 줄여 쓰기로 했습니다. 표기법 하나가 생긴 것뿐인데, 이 위첨자 숫자는 완전히 새로운 수학(지수법칙, 로그, 지수함수)의 출발점이 돼요.
더 중요한 건 감각입니다. 곱셈의 반복은 인간의 직선적 직관을 언제나 배신해요. 종이 42번 접기가 달까지 닿는다는 것을 몸으로 겪어야, 복리와 전염병과 기술 발전을 오판하지 않습니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“지수는 '크기'가 아니라 '횟수'를 적는 문자다.”
2¹⁰의 10은 크기가 아니라 곱셈 버튼을 누른 횟수입니다. 이 관점 전환 하나로 지수법칙 전체가 당연해져요. 횟수끼리는 더해지니까요.
“마지막 한 번의 접기가 지금까지의 전부와 같다.”
41번 접은 두께가 달까지 절반이라면, 마지막 42번째 접기 한 번이 나머지 절반을 갑니다. 지수 성장의 끝은 언제나 폭력적이에요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
2¹⁰은 2×10 = 20쯤 될 것이다.
2¹⁰ = 1,024입니다. 지수는 '몇 번 곱했는가'이지 '몇을 곱했는가'가 아니에요. 곱셈의 반복을 덧셈 감각으로 읽는 것이 가장 흔한 착각입니다.
2⁰은 0이고, 2⁻¹은 음수다.
2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2입니다. 지수가 1 줄 때마다 ÷2가 되는 패턴을 그대로 이으면 자연스럽게 나와요. 약속이 아니라 패턴의 연장입니다.
Formula
수식으로 정리하기
종이 접기에서 발견한 패턴을 수식으로 정리하면 지수법칙이 됩니다.
공식 해부 — 종이 접기 실험과 짝지어 보기
× =
거듭제곱의 정의
a를 n번 곱한 것입니다. n은 곱한 횟수예요. 접기 버튼을 누른 횟수처럼요.
지수법칙 — 횟수는 더해진다
m번 곱하고 이어서 n번 더 곱하면 합쳐서 (m+n)번입니다. 실험에서 직접 센 그대로예요.
0제곱과 음수 지수
지수가 1 줄 때마다 ÷a가 되는 패턴을 계속 이으면 a¹=a, a⁰=1, a⁻¹=1/a입니다. 패턴의 자연스러운 연장이에요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
데이터 용량의 사다리
KB→MB→GB→TB는 매번 ×1,024(=2¹⁰)입니다. 저장 용량의 세계는 처음부터 거듭제곱으로 설계돼 있어요.
세포 분열과 바이러스
1개가 2개, 2개가 4개가 됩니다. 20번 분열이면 100만 개를 넘어요. 생명의 성장 기본 단위가 거듭제곱입니다.
복리의 뼈대
(1+r)ⁿ, 복리 공식의 핵심이 바로 거듭제곱입니다. n이 지수 자리에 있다는 것이 '시간이 돈을 곱한다'의 정체예요.
비밀번호의 강도
문자 하나 추가할 때마다 경우의 수가 수십 배씩 곱해집니다. 보안의 언어도 거듭제곱이에요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
3⁴은 얼마일까요?
2⁵ × 2³을 간단히 하면?
10⁰은 얼마일까요?
두께 0.1mm인 종이를 10번 접으면 두께는 몇 mm가 될까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
개념은 이어진다
이전 개념
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