PROOF 15
증명하라.
a⁰ = 1
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자연수 n 에 대하여 aⁿ 은 a 를 n 번 곱한 것이다.
증명.
(1)a¹ = a 이고, 자연수 n 에 대하여 aⁿ⁺¹ = aⁿ × a 이다.약속
(2)이 정의는 n 이 자연수일 때만 뜻을 가진다. a⁰ 은 아직 뜻이 없다.약속
∎
정의 D2
a⁰ 은 지수법칙이 지수 0 에서도 성립하도록 정한 값이다.
증명.
(1)A1 은 m, n 이 자연수일 때 성립한다.A1
(2)D1 은 a⁰ 에 아무 값도 주지 않는다. 값은 새로 정해야 한다.D1
(3)정하는 기준은 하나다 — 지수법칙을 정수 지수까지 그대로 유지한다.A2
∎
보조정리 L1
a⁰ × a = a
증명.
(1)0 + 1 = 1A6
(2)a⁰⁺¹ = a⁰ × a¹D2, A2
(3)a⁰⁺¹ = a¹(1), E
(4)a¹ = aD1
(5)a⁰ × a¹ = a⁰ × a(4), E
(6)a⁰ × a = a(2), (3), (4), (5)
∎
정리 T
a > 0 이면 a⁰ = 1
증명.
(1)a⁰ × a = aL1
(2)a > 0 이므로 a⁻¹ 이 존재한다.A3
(3)(a⁰ × a) × a⁻¹ = a × a⁻¹(1), (2), E
(4)a × a⁻¹ = 1A3
(5)(a⁰ × a) × a⁻¹ = a⁰ × (a × a⁻¹)A4
(6) = a⁰ × 1 = a⁰(4), A5
(7)a⁰ = 1(3), (4), (6)
∎
따름정리 C
0⁰ 의 값은 이 논법으로 정해지지 않는다.
증명.
(1)무대를 넓혀 밑에 0 을 허용한다고 하자.가정
(2)L1 은 0⁰ × 0 = 0 을 준다.L1, (1)
(3)모든 x 에 대하여 x × 0 = 0 이다.A7
(4)0⁰ 을 어떤 값으로 두어도 (2) 는 성립한다.(2), (3)
(5)A3 은 밑 0 에 대해 0⁻¹ 을 주지 않으므로 T 의 (3) 을 세울 수 없다.A3
(6)0⁰ 의 값은 좁혀지지 않는다.(4), (5)
∎
비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
a⁰ 을 1 이 아닌 값으로 정하면 무엇이 깨지는지 확인하라.