PROOF 94
증명하라.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자연수 n 에 대하여 a¹ = a, aⁿ⁺¹ = aⁿ × a 로 정한다.
증명.
(1)이 정의는 곱하는 순서와 괄호를 왼쪽부터 한 가지로 고정한다.약속
(2)지수가 자연수일 때만 뜻을 가진다.약속
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보조정리 L1
모든 자연수 m, n 에 대하여 aᵐ⁺ⁿ = aᵐ aⁿ
증명.
(1)Q(n) 을 「aᵐ⁺ⁿ = aᵐ aⁿ」이라 하자.약속
(2)aᵐ⁺¹ = aᵐ × a = aᵐ a¹, 즉 Q(1) 이 성립한다.D1
(3)Q(k) 를 가정한다. aᵐ⁺ᵏ = aᵐ aᵏ가정
(4)(m + k) + 1 = m + (k + 1)A3
(5)aᵐ⁺⁽ᵏ⁺¹⁾ = a⁽ᵐ⁺ᵏ⁾⁺¹ = aᵐ⁺ᵏ × a(4), D1, E
(6)aᵐ⁺ᵏ × a = (aᵐ aᵏ) a(3), E
(7)(aᵐ aᵏ) a = aᵐ (aᵏ a)A2
(8)aᵏ a = aᵏ⁺¹D1
(9)aᵐ⁺⁽ᵏ⁺¹⁾ = aᵐ aᵏ⁺¹, 즉 Q(k+1) 이 성립한다.(5), (6), (7), (8)
(10)그러므로 모든 자연수 n 에 대하여 Q(n) 이다.(2), (9), A1
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정리 T1
모든 자연수 m, n 에 대하여 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
증명.
(1)P(n) 을 「(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ」이라 하자.약속
(2)(aᵐ)¹ = aᵐD1
(3)m × 1 = m 이므로 (aᵐ)¹ = a^(m×1), 즉 P(1) 이 성립한다.(2), A4, E
(4)P(k) 를 가정한다. (aᵐ)ᵏ = aᵐᵏ가정
(5)(aᵐ)ᵏ⁺¹ = (aᵐ)ᵏ × aᵐD1
(6) = aᵐᵏ × aᵐ(4), (5), E
(7)aᵐᵏ × aᵐ = aᵐᵏ⁺ᵐL1
(8)mk + m = m(k + 1)A5
(9)(aᵐ)ᵏ⁺¹ = aᵐ⁽ᵏ⁺¹⁾, 즉 P(k+1) 이 성립한다.(6), (7), (8), E
(10)그러므로 모든 자연수 n 에 대하여 P(n) 이다.(3), (9), A1
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따름정리 C
유리수 지수는 T1 이 유지되도록 정한다.
증명.
(1)D1 은 지수가 자연수일 때만 뜻을 가지므로 a^(1/n) 에는 아직 뜻이 없다.D1
(2)정하는 기준은 하나다 — T1 을 유리수 지수까지 그대로 유지한다.A6, T1
(3)그 요구는 (a^(1/n))ⁿ = a^((1/n)·n) 을 준다.(2), A6
(4)(1/n) × n = 1N
(5)a¹ = aD1
(6)(a^(1/n))ⁿ = a(3), (4), (5), E
(7)그러므로 a^(1/n) 은 n 제곱하여 a 가 되는 수여야 한다.(6)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
aⁿ 이라는 값 자체가 흔들리는지, 아니면 다른 것이 흔들리는지 확인하라.