PROOF 93
증명하라.
a^(1/2) 은 √a 다
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a > 0 에 대하여 √a 는 x² = a 이고 x > 0 인 x 를 뜻한다.
증명.
(1)그러한 x 는 존재한다.A3
(2)이 기호는 두 제곱근 가운데 양의 것만 가리킨다.약속
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정의 D2
유리수 t 에 대한 aᵗ 는 지수법칙이 유리수 지수에서도 성립하도록 정한 값이다.
증명.
(1)A1 은 지수가 정수일 때 성립한다.A1
(2)a^(1/2) 과 a^(1/4) 에는 아직 뜻이 없다. 값은 새로 정해야 한다.A1
(3)정하는 기준은 하나다 — 지수법칙을 유리수 지수까지 그대로 유지한다.A2
(4)aᵗ 는 각 유리수 t 에 대하여 하나의 실수로 정해진다.(3), A2
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보조정리 L1
(a^(1/2))² = a
증명.
(1)(a^(1/2))² = a^((1/2)×2)D2, A2
(2)(1/2) × 2 = 1N
(3)a¹ = aA4
(4)(a^(1/2))² = a(1), (2), (3), E
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보조정리 L2
a > 0 이면 a^(1/2) > 0
증명.
(1)a^(1/2) × a^(1/2) = aL1
(2)a^(1/2) = 0 이라 하면 왼변은 0 이 되어 a = 0(1), A6
(3)a > 0 이므로 a^(1/2) ≠ 0(2), 가정
(4)a^(1/2) = a^((1/4)×2) = (a^(1/4))²D2, A2, N
(5)(a^(1/4))² ≥ 0A5
(6)a^(1/2) ≥ 0(4), (5)
(7)a^(1/2) > 0(3), (6)
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보조정리 L3
x² = y² 이고 x > 0, y > 0 이면 x = y
증명.
(1)x² − y² = 0가정, E
(2)x² − y² = (x − y)(x + y)A7
(3)(x − y)(x + y) = 0(1), (2)
(4)x − y = 0 또는 x + y = 0(3), A8
(5)x > 0, y > 0 이므로 x + y > 0가정, A9
(6)x − y = 0, 즉 x = y(4), (5), E
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정리 T
a > 0 이면 a^(1/2) = √a
증명.
(1)x² = a 이고 x > 0 인 x 가 존재하며, 그것이 √a 다.D1
(2)(a^(1/2))² = aL1
(3)a^(1/2) > 0L2
(4)그러므로 a^(1/2) 은 (1) 의 두 조건을 만족한다.(1), (2), (3)
(5)그 조건을 만족하는 양수는 하나뿐이다.L3
(6)a^(1/2) = √a(4), (5), D1
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
제곱근은 두 개다. 그 가운데 하나를 고른 근거가 어디에 있는지 확인하라.