PROOF 16
증명하라.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
양의 실수 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자연수 n 에 대하여 aⁿ 은 a 를 n 번 곱한 것이다.
증명.
(1)a¹ = a 이고, 자연수 n 에 대하여 aⁿ⁺¹ = aⁿ × a 이다.약속
(2)이 정의는 지수가 자연수일 때만 뜻을 가진다. a⁰ 과 a⁻ⁿ 은 아직 뜻이 없다.약속
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정의 D2
1/x 는 x × y = 1 을 만족하는 y 를 뜻한다.
증명.
역수는 새로운 종류의 수가 아니라, 곱하여 1 이 되는 수를 가리키는 이름이다.약속
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보조정리 L1
a > 0 이면 a⁰ = 1
증명.
(1)0 + 1 = 1A8
(2)a⁰⁺¹ = a⁰ × a¹A1, A2
(3)a⁰⁺¹ = a¹ = a(1), D1, E
(4)a⁰ × a¹ = a⁰ × aD1, E
(5)a⁰ × a = a(2), (3), (4)
(6)1 × a = aA4, A5
(7)a⁰ × a = 1 × a 이고 a > 0 이다.(5), (6)
(8)a⁰ = 1(7), A6
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보조정리 L2
x × y = 1 이고 x × z = 1 이면 y = z
증명.
(1)y = y × 1A5
(2) = y(xz)가정
(3) = (yx)zA3
(4) = (xy)zA4
(5) = 1 × z가정
(6) = z × 1A4
(7) = zA5
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보조정리 L3
a⁻ⁿ × aⁿ = 1
증명.
(1)(−n) + n = 0A7
(2)a⁽⁻ⁿ⁾⁺ⁿ = a⁻ⁿ × aⁿA1, A2
(3)a⁽⁻ⁿ⁾⁺ⁿ = a⁰(1), E
(4)a⁰ = 1L1
(5)a⁻ⁿ × aⁿ = 1(2), (3), (4)
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정리 T
a > 0 이면 a⁻ⁿ = 1/aⁿ
증명.
(1)a⁻ⁿ × aⁿ = 1L3
(2)aⁿ × a⁻ⁿ = 1(1), A4
(3)그러므로 a⁻ⁿ 은 D2 의 조건을 만족한다.(2), D2
(4)aⁿ × y = 1 을 만족하는 y 는 하나뿐이다.L2
(5)a⁻ⁿ = 1/aⁿ(3), (4), D2
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비고
A3 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
a⁻ⁿ × aⁿ = 1 을 보인 것과 a⁻ⁿ 이 역수라고 부르는 것은 다른 말이다.