PROOF 190
증명하라.
소수 사이의 간격은 얼마든지 벌어진다
자연수 ℕ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
k ∣ m 은 m = kq 인 자연수 q 가 있음을 뜻한다.
증명.
약수와 배수를 이 한 줄로 쓴다.약속
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정의 D2
n! = 1 × 2 × ⋯ × n 으로 둔다 (n ≥ 2).
증명.
합과 곱은 자연수를 벗어나지 않으므로 n! ∈ ℕ 이고 0 < n!.A6, A5
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정의 D3
2 이상의 자연수 m 가운데, 1 < d < m 인 약수 d 를 갖는 것을 합성수, 갖지 않는 것을 소수라 한다.
증명.
2 이상의 자연수는 둘 중 하나다.약속
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보조정리 L1
2 ≤ k ≤ n 이면 k ∣ n!.
증명.
(1)1 × 2 × ⋯ × n 의 인수 가운데 k 가 있다 (2 ≤ k ≤ n 이므로).가정, D2
(2)교환·결합으로 k 를 앞으로 빼면 n! = k × m — m 은 나머지 인수들의 곱, 자연수다.(1), A2, A6
(3)그러므로 k ∣ n!.(2), D1
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정리 T1
2 ≤ k ≤ n 이면 n! + k 는 합성수다.
증명.
(1)k ∣ n! — 즉 n! = km 인 자연수 m 이 있다.L1, D1
(2)n! + k = km + k × 1 = k(m + 1).(1), A3, A1, E
(3)m + 1 ∈ ℕ 이므로 k ∣ (n! + k).(2), A6, D1
(4)0 < 1 의 양변에 1 을 더하면 1 < 2 ≤ k — k 는 1 보다 크다.A7, A4, A8, 가정
(5)0 < n! 의 양변에 k 를 더하면 k < n! + k.D2, A4
(6)1 < k < n! + k 인 약수 k 가 있다 — n! + k 는 합성수다.(3), (4), (5), D3
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따름정리 C
임의의 n 에 대하여, 소수가 하나도 없는 길이 n − 1 의 구간이 존재한다.
증명.
(1)n! + 2 부터 n! + n 까지는 연속한 n − 1 개의 자연수다.D2, A6
(2)각 항 n! + k (2 ≤ k ≤ n) 는 합성수다.T1
(3)그러므로 소수 없는 길이 n − 1 의 구간이 있다. n 에는 제한이 없다.(1), (2), D3
(4)소수는 무한히 많다 (증명 11). 끝나지 않지만, 사이는 얼마든지 벌어진다.(3), A9
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
n! + k 가 합성수라는 사실은 한 번의 묶기에 걸려 있다. 그 자리를 찾아라.