PROOF 13
증명하라.
1 은 소수가 아니다
자연수 ℕ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
b | a 는 a = bk 인 자연수 k 가 존재함을 뜻한다.
증명.
약수를 곱셈 하나로 옮긴 것이다.약속
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정의 D2
p 가 소수라는 것은 p > 1 이고 p 의 약수가 1 과 p 뿐임을 뜻한다.
증명.
지금 쓰이는 정의다. 조건이 둘 붙어 있다.약속
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정의 D3
D2 에서 p > 1 을 뺀 정의를 D3 이라 한다. 약수가 1 과 자기 자신뿐인 자연수를 소수라 부른다.
증명.
D3 은 1 을 배제하지 않는다.약속
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보조정리 L1
D3 아래에서 1 은 소수다.
증명.
(1)1 = 1 × 1 이므로 1 | 1 이다.A2, D1
(2)a | 1 이면 1 = ak 인 k 가 있다.D1
(3)1 ≤ k 이므로 a = a × 1 ≤ ak = 1 이다.(2), A1, A2, A4
(4)1 ≤ a 이므로 a = 1 이다.(3), A1
(5)그러므로 1 의 약수는 1 뿐이다.(1), (4)
(6)1 의 약수는 1 과 자기 자신뿐이므로, D3 아래에서 1 은 소수다.(5), D3
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정리 T1
D3 아래에서 12 를 소수들의 곱으로 쓰는 방법은 무한히 많다.
증명.
(1)12 = 2 × 2 × 3 이다.A3
(2)1 은 소수다.L1
(3)1 × 12 = 12 이므로 12 = 1 × 2 × 2 × 3 이다.(1), A2, A3, E
(4)같은 방법으로 12 = 1 × 1 × 2 × 2 × 3 이다.(3), A2
(5)1 을 몇 개 붙여도 값은 12 이다.A2
(6)이 표현들은 (2)에 의해 모두 소수들의 곱이다.(2), (5)
(7)1 의 개수가 서로 다르므로 순서를 바꾼 것이 아니다.(3), (4)
(8)그러므로 그런 표현은 무한히 많다.(5), (6), (7)
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따름정리 C
1 은 소수가 아니다.
증명.
(1)소인수분해는 하나뿐이다.A5
(2)D3 아래에서는 12 의 표현이 무한히 많다.T1
(3)그러므로 D3 과 A5 는 함께 설 수 없다.(1), (2)
(4)D2 는 p > 1 을 요구하므로 1 을 소수에서 뺀다.D2
(5)D2 아래에서 12 의 표현은 2 × 2 × 3 하나뿐이다.(4), A5
(6)1 을 뺀 것은 계산의 결과가 아니라, A5 를 지키기 위한 정의의 선택이다.(3), (4)
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비고
A5 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
A5 는 앞 편에서 증명한 정리다. 여기서는 그것을 지키기로 한 요구로 쓴다. 제거하면 무엇이 남는지 확인하라.