PROOF 06
증명하라.
0.999… = 1
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
0.999… 의 값은 부분합 수열 (Sₙ) 의 극한이다.
증명.
(1)Sₙ = 9·10⁻¹ + 9·10⁻² + … + 9·10⁻ⁿ 으로 둔다. 9 가 n 개인 유한소수다.약속
(2)0.999… 는 자리를 한없이 이어 쓴 기호다. 그 값은 이 약속으로만 정해진다.약속
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보조정리 L1
모든 n 에 대하여 Sₙ = 1 − 10⁻ⁿ
증명.
(1)Sₙ = 9(10⁻¹ + 10⁻² + … + 10⁻ⁿ)D1, A7
(2)10Sₙ = 9(1 + 10⁻¹ + … + 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾)(1), A6, A7, E
(3)10Sₙ − Sₙ = 9(1 − 10⁻ⁿ)(1), (2)
(4)10Sₙ − Sₙ = 9SₙA7
(5)9Sₙ = 9(1 − 10⁻ⁿ)(3), (4)
(6)Sₙ = 1 − 10⁻ⁿ(5), E
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보조정리 L2
(Sₙ) 은 증가하고 위로 1 로 유계이므로 수렴한다.
증명.
(1)Sₙ = 1 − 10⁻ⁿL1
(2)10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ < 10⁻ⁿA4
(3)1 − 10⁻ⁿ < 1 − 10⁻⁽ⁿ⁺¹⁾, 즉 Sₙ < Sₙ₊₁(1), (2), A5
(4)0 < 10⁻ⁿA4
(5)1 − 10⁻ⁿ < 1 − 0 = 1, 즉 Sₙ < 1(1), (4), A5, A8
(6)유계 증가 수열이므로 (Sₙ) 은 극한을 가진다.(3), (5), A1
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정리 T
0.999… = 1
증명.
(1)(Sₙ) 은 수렴한다.L2
(2)0.999… = lim SₙD1, (1)
(3)Sₙ = 1 − 10⁻ⁿL1
(4)lim Sₙ = lim(1 − 10⁻ⁿ)(3), E
(5) = 1 − lim 10⁻ⁿA2
(6) = 1 − 0A3
(7) = 1A8
(8)0.999… = 1(2), (7)
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비고
A1을 제거하면 여기 제시한 증명 경로의 어느 줄을 다시 정당화해야 할까요?
선택한 증명 경로와 다른 가능한 증명을 구분하세요. A3과 L1은 그대로 남습니다.