PROOF 09
증명하라.
√2 는 유리수가 아니다
실수 ℝ 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
a/b 는 b × x = a 를 만족하는 x 를 뜻한다.
증명.
b ≠ 0 이면 그러한 x 는 하나뿐이다. 이 표기를 쓰면 나눗셈 없이 식을 옮길 수 있다.약속
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정의 D2
n = 2k 인 정수 k 가 있으면 n 은 짝수, n = 2k + 1 이면 홀수다.
증명.
모든 정수는 둘 중 하나이며, 둘 다일 수는 없다.A2
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보조정리 L1
n² 이 짝수이면 n 도 짝수다.
증명.
(1)n 이 홀수라 하자. n = 2k + 1가정, D2
(2)n² = n(2k + 1)(1), E
(3) = n(2k) + nA7, A6
(4) = 2(nk) + (2k + 1)A4, A5, (1)
(5) = (2(nk) + 2k) + 1A3
(6) = 2(nk + k) + 1A7
(7)그러므로 n² 은 홀수다.(6), D2
(8)n² 이 짝수이면 n 은 홀수가 아니다.(7), A2
(9)그러므로 n 은 짝수다.(8), A2
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정리 T
x² = 2 를 만족하는 유리수 x 는 존재하지 않는다.
증명.
(1)그러한 유리수 x 가 있다고 하자.가정
(2)x = a/b, gcd(a, b) = 1 인 정수 a, b 가 있다.A1
(3)b × x = a(2), D1
(4)(bx)(bx) = a × a(3), E
(5)(bx)(bx) = (b × b)(x × x)A4, A5
(6)b²x² = a²(4), (5)
(7)x² = 2(1)
(8)2b² = a²(6), (7), A5
(9)a² 은 짝수다.(8), D2
(10)a 는 짝수다. a = 2k(9), L1, D2
(11)a² = (2k)(2k) = 2(2k²)(10), E, A4, A5
(12)2b² = 2(2k²)(8), (11)
(13)b² = 2k²(12), A8
(14)b² 은 짝수다.(13), D2
(15)b 도 짝수다.(14), L1
(16)a 와 b 는 모두 2 로 나누어떨어진다.(10), (15)
(17)이는 gcd(a, b) = 1 에 모순이다.(2), (16)
(18)그러한 x 는 없다.(17)
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비고
A1 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
모순은 마지막 줄에서 터진다. 그 모순이 무엇에 기대고 있는지 확인하라.