수의 확장이 끝나고, 차수가 올라간다

중2에서 피타고라스 정리를 배웠죠. 그런데 한 변이 1인 정사각형의 대각선 길이를 구해 보세요.

1² + 1² = 2  →  대각선² = 2

제곱해서 2가 되는 수가 답인데, 그런 수를 어떻게 쓰죠?

제곱은 앞으로 가는 계산이에요. 우리에게 필요한 건 거꾸로 가는 거예요. 덧셈에 뺄셈이 있고 곱셈에 나눗셈이 있듯이, 제곱에도 짝이 있어야 하지 않을까요.

제곱해서 a 가 되는 수를 a 의 제곱근이라고 해요.

양수 a 의 제곱근은 두 개예요. 부호만 다르죠. 4 의 제곱근은 2 와 −2 예요.

이걸 쓰려고 근호 √ 를 만들었어요.

√a    a의 양의 제곱근
−√a   a의 음의 제곱근

√4 = 2 이고, 4 의 제곱근은 ±2 예요. 둘은 다른 말이에요.

성질이 정의에서 바로 나와요.

(√a)² = a          제곱근을 제곱하면 원래대로
√(a²) = |a|        제곱한 걸 근호에 넣으면 절댓값

두 번째가 중요해요. √((−3)²) = √9 = 3 이지 −3 이 아니거든요. 근호는 양의 값만 내놓으니까요.

곱셈과 나눗셈은 근호 안에서 그대로 돼요.

√a × √b = √(ab)
√a ÷ √b = √(a/b)

확인해 보면 √2 × √8 = √16 = 4 예요.

덧셈과 뺄셈은 다르게 해요. 근호 안이 같아야만 묶여요.

2√3 + 3√3 = 5√3        (동류항처럼)
√2 + √3   = 그대로       (못 묶음)

분모에 근호가 있으면 분모의 유리화로 없애요. 분모와 같은 근호를 위아래에 곱하는 거예요.

1/√2 = (1 × √2)/(√2 × √2) = √2/2

드디어 처음 문제가 풀려요. 대각선 길이는 √2 예요.

√2 를 소수로 써 보면 1.41421356…… 이에요. 끝나지도 않고 반복되지도 않아요.

중2에서 「유한소수와 순환소수는 전부 분수로 쓸 수 있다」고 했잖아요. 그런데 이건 어느 쪽도 아니에요.

분수로 못 쓴다면 유리수가 아니라는 거죠. 그럼 유리수 바깥에 수가 있다는 뜻이 돼요. 인정하고 이름을 붙여야겠네요.

분수 꼴로 나타낼 수 없는 수를 무리수라고 해요. √2, √3, π 같은 애들이죠. 소수로 쓰면 끝나지 않고 반복되지도 않아요.

유리수와 무리수를 합쳐 실수라고 해요.

√2 가 정말 분수로 못 쓰인다는 증명은 고등에서 해요. 여기서는 「그런 수가 있다」를 받아들이는 걸로 충분해요.

수직선을 다시 볼게요. 중1에서 정수를, 중2에서 유리수를 찍었죠. 그런데 유리수만으로는 수직선이 다 안 채워져요. √2 자리가 비어 있거든요.

실수를 다 모으면 수직선이 빈틈없이 꽉 차요. 수직선 위의 점 하나하나가 실수 하나에 대응하는 거예요.

대소 비교도 돼요. 제곱해서 비교하거나 근삿값으로 보면 되죠.

√2 ≈ 1.414      √3 ≈ 1.732

수의 확장이 여기서 끝나요.

자연수 → 정수 → 유리수 → 실수

중1에서 「3에서 5를 빼야 한다」로 시작한 여정이 중3에서 수직선을 꽉 채우는 것으로 끝나요.

(x + 3)(x + 5) 를 전개해 보세요. 분배법칙으로 하면 되죠. 그런데 이런 계산이 자꾸 반복돼요. 매번 분배법칙을 쓰기엔 느려요.

자주 나오는 모양은 결과를 외워 두면 빠르겠죠. 그런데 그냥 외우면 잊어버리니까 왜 그렇게 되는지를 같이 봐야 해요.

(a + b)² 을 넓이로 볼게요. 한 변이 (a + b) 인 정사각형을 가로세로로 잘라 네 조각을 만들면

a×a = a²      a×b = ab
b×a = ab      b×b = b²

다 더하면

(a + b)² = a² + 2ab + b²

`2ab` 의 2가 「직사각형이 두 개」라서 나온 거예요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²
(x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

세 번째를 확인해 보면 (3+5)(3−5) = 8 × (−2) = −16 이고 3² − 5² = 9 − 25 = −16 이에요. 맞죠.

곱셈 공식은 곱을 합으로 바꾸는 거예요. 그러면 합을 곱으로 되돌리는 것도 필요하겠죠. 그게 인수분해예요.

곱해진 각각을 인수라고 해요.

전개    (x + 2)(x + 3)  →  x² + 5x + 6
인수분해  x² + 5x + 6   →  (x + 2)(x + 3)

방법은 넷이에요.

① 공통인수로 묶기       ma + mb = m(a + b)
② 완전제곱식            a² + 2ab + b² = (a + b)²
③ 제곱의 차             a² − b² = (a + b)(a − b)
④ 합과 곱 찾기          x² + (a+b)x + ab = (x + a)(x + b)

전부 곱셈 공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽은 거예요. 새로 외울 게 없어요.

x² + 5x + 6 이면 더해서 5, 곱해서 6 인 두 수를 찾아요. 2와 3이죠. 그래서 (x + 2)(x + 3) 이에요.

「어떤 수를 제곱해서 그 수의 5배를 뺐더니 6이 남았다.」

x² − 5x = 6   →   x² − 5x − 6 = 0

중1에서 배운 방법으로는 안 풀려요. x가 제곱으로 들어 있거든요.

이항해서 x만 남기는 게 안 돼요. x² 과 x 는 동류항이 아니니까요. 다른 길이 필요해요.

두 수를 곱해서 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 하죠. 그걸 쓸 수 있게 곱의 꼴로 만들면 되지 않을까요.

방금 배운 인수분해를 쓰면 돼요.

x² − 5x − 6 = 0
(x − 6)(x + 1) = 0

곱해서 0이니까 x − 6 = 0 이거나 x + 1 = 0 이에요.

x = 6  또는  x = −1

방정식을 참으로 만드는 값이 근이에요. 이차방정식은 근이 둘일 수 있어요.

그런데 인수분해가 안 되는 경우가 있어요.

x² − 4x + 1 = 0

더해서 −4, 곱해서 1인 정수가 없거든요. 이럴 땐 억지로 완전제곱식을 만들어요.

x² − 4x + 1 = 0
x² − 4x = −1
x² − 4x + 4 = −1 + 4      ← 양변에 4를 더해 완전제곱식으로
(x − 2)² = 3
x − 2 = ±√3
x = 2 ± √3

제곱근을 배웠기 때문에 이게 가능해진 거예요. 중2였으면 못 풀어요.

이 방법을 일반적인 식에 그대로 해 보면 공식이 나와요.

ax² + bx + c = 0        (a ≠ 0)

양변을 a로 나누고        x² + (b/a)x + c/a = 0
상수항을 넘기고          x² + (b/a)x = −c/a
완전제곱식을 만들면      (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²
제곱근을 취하면          x + b/2a = ±√(b² − 4ac) / 2a

정리하면

x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / 2a

이게 근의 공식이에요. 외우는 게 아니라 완전제곱식 과정을 문자로 한 번 한 것뿐이에요.

x² − 5x + 6 = 0 으로 확인해 보면

x = (5 ± √(25 − 24)) / 2 = (5 ± 1)/2  →  x = 2 또는 3

근호 안 b² − 4ac 의 부호가 근의 개수를 정해요.

양수면   근이 2개
0이면    근이 1개 (중근)
음수면   실수인 근이 없다

제곱해서 음수가 되는 실수가 없기 때문이에요. 그 「없는 수」를 만드는 게 고등학교에서 할 일이고요.

공을 위로 던지면 직선으로 안 올라가요. 올라갔다 내려오죠. 일차함수는 직선인데, 이런 움직임은 어떻게 나타내죠?

일차함수가 y = ax + b 였잖아요. 차수를 하나 올려 보면 어떨까요.

y = ax² + bx + c        (a ≠ 0)

이렇게 y 가 x 에 대한 이차식인 함수가 이차함수예요.

가장 간단한 y = x² 을 그려 보면 U자 모양 곡선이 나와요. 이 곡선을 포물선이라고 해요.

포물선은 좌우 대칭인데, 그 대칭축이 축이고 축과 만나는 꼭짓점이 꼭짓점이에요.

y = x² 을 기준으로 평행이동시켜 볼게요. 모양은 그대로 두고 자리만 옮기는 거예요. 중2에서 y = ax 를 위로 밀어 y = ax + b 를 만든 것과 같은 일이에요.

y = x² + q          위로 q만큼         꼭짓점 (0, q)
y = (x − p)²        오른쪽으로 p만큼   꼭짓점 (p, 0)
y = (x − p)² + q    둘 다              꼭짓점 (p, q)

`x − p` 인데 오른쪽으로 가는 게 헷갈려요. x 자리에 p 를 넣어야 원래 0 일 때 값이 나오니까, 그래프가 p만큼 밀린 거예요.

a 는 모양을 정해요.

a > 0   아래로 볼록 (U자)
a < 0   위로 볼록  (∩자)
|a|가 클수록 폭이 좁아진다

표준형   y = a(x − p)² + q      꼭짓점 (p, q), 축은 x = p
일반형   y = ax² + bx + c       y절편이 c

일반형을 표준형으로 바꾸는 게 완전제곱식 만들기예요. 이차방정식에서 한 것과 똑같은 작업이죠.

y = 0 으로 놓으면 이차방정식이 돼요. 포물선이 x축과 만나는 점이 곧 이차방정식의 근이에요.

그래서 근이 2개면 두 점에서 만나고, 중근이면 한 점에서 닿고, 근이 없으면 x축과 안 만나요. 아까 판별한 게 그림으로 보이는 거예요.

산 높이를 재고 싶은데 올라갈 수는 없어요. 멀리서 올려다본 각도와 거리만 잴 수 있다고 해 볼게요. 이걸로 높이를 알 수 있을까요?

각과 길이는 단위부터 다르잖아요. 직접 이을 순 없어요. 그런데 닮음을 떠올려 보면요. 중2에서 「각이 같으면 닮음(AA)」이라고 했죠. 닮으면 변의 비가 같아요.

각이 같으면 변의 비가 정해진다 — 이게 다리가 되겠네요.

직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면, 크기가 달라도 변의 비는 항상 같아요. AA 닮음이니까요.

그래서 그 비에 이름을 붙여요.

sin A = (높이) / (빗변)
cos A = (밑변) / (빗변)
tan A = (높이) / (밑변)

이 셋을 삼각비라고 해요. 각에 대해 정해지는 비라는 뜻이죠.

몇몇 각은 값을 직접 구할 수 있어요.

45° — 직각이등변삼각형을 보면 두 변이 1, 1이고 빗변이 √2 예요.

sin 45° = 1/√2 = √2/2
cos 45° = √2/2
tan 45° = 1

30°와 60° — 정삼각형을 반으로 자르면 나와요. 한 변이 2인 정삼각형을 반 자르면 밑변 1, 빗변 2, 높이 √3 이에요.

sin 30° = 1/2        cos 30° = √3/2      tan 30° = 1/√3
sin 60° = √3/2       cos 60° = 1/2       tan 60° = √3

외우는 게 아니라 삼각형 두 개에서 나오는 거예요. 직각이등변삼각형 하나, 정삼각형 반쪽 하나.

        30°      45°      60°
sin    1/2      √2/2     √3/2
cos    √3/2     √2/2     1/2
tan    1/√3      1        √3

sin은 커지고 cos은 작아지는 게 보이죠.

처음 문제로 돌아가요. 산에서 100m 떨어진 곳에서 올려다본 각이 30°면

tan 30° = (높이) / 100
높이 = 100 × (1/√3) ≈ 57.7m

올라가지 않고 높이를 쟀어요.

원은 그냥 둥근 것 같은데, 안에 선을 그으면 규칙이 생겨요. 어떤 규칙들이 있을까요?

원은 「중심에서 거리가 같은 점의 모임」이잖아요. 그러면 중심에서 그은 선이 열쇠가 되겠네요. 반지름은 전부 길이가 같으니까 이등변삼각형이 자꾸 생기거든요.

중2에서 현을 배웠죠. 원 위의 두 점을 이은 선분이요.

중심에서 현에 수선을 내리면, 반지름 두 개가 같으니까 이등변삼각형이 생겨요. 그래서

중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다
길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있다

전부 이등변삼각형에서 나와요.

원과 한 점에서만 만나는 직선이 접선이고, 그 점이 접점이에요.

접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다

두 번째도 합동으로 증명돼요. 직각삼각형 두 개가 RHS로 합동이거든요.

원 위의 한 점에서 두 점을 바라본 각을 원주각이라고 해요. 같은 호를 중심에서 본 각이 중심각이고요.

원주각은 중심각의 절반이에요.

왜 그런지 한 경우만 볼게요. 원주각의 꼭짓점 P와 중심 O를 이어 지름이 되게 하면, OP 와 OA 가 둘 다 반지름이라 이등변삼각형이 생겨요.

∠OPA = ∠OAP = x          (이등변삼각형)
∠AOB' = x + x = 2x       (삼각형의 외각 = 다른 두 내각의 합)

중심각이 원주각의 두 배로 나와요.

여기서 두 가지가 바로 따라 나와요.

같은 호에 대한 원주각은 모두 같다
반원에 대한 원주각은 90°     (중심각이 180°니까)

원에 내접하는 사각형은 마주 보는 두 각의 합이 180° 예요. 두 원주각이 원 전체(360°)를 나눠 보는 셈이니까, 절반씩 해서 180°가 되는 거죠.

두 반의 평균이 똑같이 70점이에요. 그럼 두 반이 같은 반인가요?

한 반은 다 68~72점인데, 다른 반은 40점도 있고 100점도 있다면 전혀 다른 반이잖아요. 평균만으로는 이걸 못 잡아요.

평균은 가운데만 말해 줘요. 우리에게 필요한 건 얼마나 퍼졌나예요. 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 재면 되지 않을까요.

각 변량에서 평균을 뺀 값을 편차라고 해요.

편차 = (변량) − (평균)

그런데 편차를 다 더하면 항상 0이에요. 평균보다 큰 만큼과 작은 만큼이 정확히 상쇄되거든요. 그래서 편차의 합으로는 흩어진 정도를 못 재요.

부호 때문에 상쇄되는 게 문제죠. 그러면 부호를 없애면 돼요. 절댓값을 씌워도 되는데, 계산이 불편해서 제곱을 써요.

편차를 제곱해서 평균 낸 게 분산이에요.

분산 = Σ(편차)² / (변량의 개수)

그런데 제곱했으니 단위가 달라져요. 점수의 제곱은 점수가 아니잖아요. 그래서 제곱근을 씌워 원래 단위로 되돌려요. 그게 표준편차예요.

표준편차 = √(분산)

중3에서 제곱근을 배웠기 때문에 이게 가능해진 거예요.

자료 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 로 해 볼게요.

평균 = 40 ÷ 8 = 5
편차 = −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4      (합이 0)
편차² = 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16        (합 32)
분산 = 32 ÷ 8 = 4
표준편차 = √4 = 2

표준편차가 크면 흩어진 거고, 작으면 몰려 있는 거예요. 두 반의 평균이 같아도 표준편차를 보면 어느 쪽이 고른지 알 수 있어요.

표준편차는 좋은데 숫자 하나라 모양이 안 보여요. 어느 쪽으로 치우쳤는지, 이상하게 튄 값이 있는지는 모르잖아요.

중1에서 중앙값을 배웠죠. 줄을 세워 가운데를 보는 방법이요. 그걸 한 번 더 나누면 어떨까요.

자료를 크기 순으로 늘어놓고 넷으로 나누는 위치의 값을 사분위수라고 해요.

제1사분위수  아래에서 1/4 지점
제2사분위수  가운데 = 중앙값
제3사분위수  아래에서 3/4 지점

여기에 최솟값과 최댓값을 더하면 다섯 개가 돼요.

이 다섯 수로 그림을 그려요. 제1사분위수부터 제3사분위수까지를 상자로 그리고, 중앙값에 선을 긋고, 최솟값·최댓값까지 선을 뻗어요. 그게 상자그림이에요.

상자 길이가 가운데 절반이 퍼진 정도를 보여 줘요.

상자의 길이를 사분위범위라고 해요.

사분위범위 = (제3사분위수) − (제1사분위수)

상자그림 여러 개를 나란히 놓으면 여러 집단을 한눈에 비교할 수 있어요. 평균 하나로 비교할 때보다 훨씬 많은 게 보여요.

지금까지는 한 가지만 봤어요. 키면 키, 점수면 점수요. 그런데 「키가 크면 몸무게도 많이 나가나?」처럼 두 가지 사이의 관계가 궁금할 때가 있잖아요.

두 값을 짝지어야 하는데… 중1에서 그거 했죠. 순서쌍으로 좌표평면에 찍는 거요.

두 변량을 순서쌍으로 만들어 좌표평면에 점으로 찍은 게 산점도예요.

찍어 놓고 보면 점들이 어떤 흐름을 보여요.

한쪽이 커질 때 다른 쪽도 커지는 경향이면 양의 상관관계, 한쪽이 커질 때 다른 쪽이 작아지면 음의 상관관계예요. 아무 흐름이 없으면 상관관계가 없다고 하고요.

점들이 직선에 가까울수록 상관관계가 강해요.

중3에서는 수치로 계산하지 않고 모양으로 판단해요.

오른쪽 위로 몰림   →  양의 상관관계
오른쪽 아래로 몰림 →  음의 상관관계
흩어져 있음        →  상관관계 없음

여기서 꼭 짚어야 할 게 있어요. 상관관계가 있다고 원인과 결과인 건 아니에요.

아이스크림 판매량과 물놀이 사고는 같이 늘어나요. 양의 상관관계죠. 그런데 아이스크림이 사고를 일으키는 게 아니잖아요. 둘 다 「더위」 때문에 늘어난 거예요.

같이 움직인다고 하나가 다른 하나를 만든 건 아니에요.