평균 수심 1m인 강을 건너다 빠지는 이유
10년 평균 수익률이 5%로 똑같은 자산 A와 B. 같은 투자일까?
평균이 감춘 두 번째 정보, 분산
Experiment
직접 만져보기
예측 먼저 — 아래 두 자산의 10년 평균 수익률은 둘 다 5%입니다. 두 자산은 같은 투자일까요?
연도별 수익률을 눈으로 확인하세요
자산 A (x̄ = 5%)
자산 B (x̄ = 5%)
흔들림 측정기를 조립해봅시다 (자산 B 기준)
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
평균 수익률 5%인 두 자산이 있습니다. 하나는 매년 4~6%를 오가고, 하나는 −20%와 +30%를 널뜁니다. 평균이라는 숫자 하나로는 이 차이가 완전히 사라져요.
필요한 것은 '평균에서 얼마나 벗어나는가'를 재는 두 번째 숫자입니다. 그런데 편차를 그냥 더하면 0이 되므로, 제곱해 평균 내는 우회로가 발명됐어요. 분산입니다.
제곱 때문에 단위가 이상해지니(원²?) 다시 루트를 씌운 것이 표준편차예요. 금융의 리스크, 공장의 품질, 시험의 표준점수까지, 흔들림이 문제 되는 모든 곳의 공용어입니다.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“평균은 위치를, 분산은 흔들림을 말한다.”
두 숫자는 서로 다른 질문에 답합니다. '어디쯤인가'(평균)와 '얼마나 출렁이는가'(분산)예요. 분포를 요약하려면 최소한 이 두 숫자가 필요합니다.
“제곱은 벌점이다 — 크게 벗어날수록 훨씬 크게 센다.”
편차 2는 4로, 편차 10은 100으로 셉니다. 분산이 극단적 이탈에 민감한 이유이자, 금융에서 '큰 손실 한 번'이 위험 지표를 크게 흔드는 이유예요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
편차(값−평균)를 그냥 평균 내면 흔들림이 나온다.
편차의 합은 언제나 정확히 0입니다. 위로 벗어난 만큼 아래로 벗어나기 때문이에요. 그래서 제곱해 부호를 없앤 뒤 평균 냅니다. 그것이 분산이에요.
분산이 크면 나쁜 것이다.
분산은 좋고 나쁨이 아니라 '변동의 크기'입니다. 투자에선 위험이지만 동시에 기회의 폭이고, 품질관리에선 불량, 생태학에선 다양성이에요. 해석은 맥락의 몫입니다.
Formula
수식으로 정리하기
실험의 3단계 버튼(편차→제곱→평균)이 그대로 공식이 됩니다.
공식 해부 — 편차→제곱→평균 버튼과 짝지어 보기
=
분산
편차를 제곱해 평균 낸 것입니다. 제곱은 부호를 없애는 동시에 큰 이탈에 벌점을 줘요.
표준편차
분산에 루트를 씌워 원래 단위로 되돌린 것입니다. '평균 ± σ' 같은 직관적 표현이 가능해져요.
편차의 합은 0
평균의 정의 자체가 '편차가 상쇄되는 지점'입니다. 그래서 제곱 없이는 흔들림을 잴 수 없어요.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
투자 리스크
수익률의 표준편차가 곧 금융의 '변동성'입니다. 평균 수익이 같다면 σ가 작은 쪽이 같은 돈을 더 편안하게 벌어요.
공장의 품질관리
부품 치수의 σ가 작아야 규격을 벗어나는 불량이 안 나옵니다. 식스시그마(6σ)라는 이름 자체가 표준편차예요.
시험 표준점수
원점수를 (점수−평균)/σ로 바꾼 것이 z점수입니다. 시험마다 난이도가 달라도 공정하게 비교할 수 있게 돼요.
일기예보의 불확실성
'기온 20±3도'처럼 예측 모델들의 흩어짐(σ)이 신뢰구간의 폭을 정합니다.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
편차(값 − 평균)를 제곱하지 않고 그냥 평균 내면 어떻게 될까요?
자료 2, 4, 6, 8의 분산은 얼마일까요?
모든 값에 똑같이 100을 더하면 표준편차 σ는 어떻게 될까요?
평균 수익률이 같은 두 자산 중 σ가 큰 쪽. 어떤 의미일까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
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Connection
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