PROOF 173
증명하라.
표준화가 비교를 가능하게 한다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
dᵢ = xᵢ − x̄ 라 하고 s² = (Σdᵢ²)n⁻¹ 을 분산, s = √(s²) 을 표준편차라 한다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, t² 은 t·t 를 뜻한다. 덧셈의 결합과 교환에 의해 이 합은 더하는 차례와 묶는 법에 관계없이 하나로 정해진다.약속, A1, A2
(2)n ≥ 1 이므로 n ≠ 0 이고 n⁻¹ 이 있다.A13, A8
∎
보조정리 L1
wᵢ = xᵢ − x̄ 로 두면 w 자료의 평균은 0 이다.
증명.
(1)Σwᵢ = Σ(xᵢ − x̄) = 0A11
(2)n w̄ = Σwᵢ = 0 = n × 0A12, (1), A14
(3)n ≠ 0 이므로 소거하면 w̄ = 0(2), A13, A9
(4)이 계산에는 표준편차가 한 번도 나오지 않는다.(1), (2), (3)
∎
정의 D2
0 < s 라 하자. zᵢ = (xᵢ − x̄)s⁻¹ = dᵢ s⁻¹ 으로 얻은 자료를 표준화한 자료라 한다.
증명.
(1)0 < s 이므로 s ≠ 0 이고 s⁻¹ 이 있다.A17, A20, A8
(2)모든 값이 같은 자료에서는 dᵢ 가 모두 0 이므로 s = 0 이 되고 이 정의를 쓸 수 없다.D1, A17, 약속
∎
정리 T1
표준화한 자료의 평균은 0 이고 표준편차는 1 이다.
증명.
(1)Σzᵢ = Σ(dᵢ s⁻¹) = s⁻¹ ΣdᵢD2, A10, A6
(2)Σdᵢ = 0 이므로 Σzᵢ = s⁻¹ × 0 = 0(1), A11, A14
(3)n z̄ = Σzᵢ = 0 = n × 0 이고 n ≠ 0 이므로, L1 과 같은 방법으로 z̄ = 0A12, (2), A14, A13, A9, L1
(4)z̄ = 0 이므로 −z̄ = 0 이고, 따라서 zᵢ − z̄ = zᵢ 이다. z 자료의 편차는 zᵢ 자신이다.(3), A4, A3
(5)zᵢ² = (dᵢ s⁻¹)² = dᵢ²(s⁻¹)²D2, A5, A6
(6)Σzᵢ² = (s⁻¹)² Σdᵢ²(5), A10
(7)s² = (Σdᵢ²)n⁻¹ 의 양변에 n 을 곱하면 Σdᵢ² = n s²D1, E, A5, A6, A7, A8, A13
(8)s_z² = (Σzᵢ²)n⁻¹ = ((s⁻¹)²(n s²))n⁻¹ = (s⁻¹)²s² = (s⁻¹s)² = 1(4), (6), (7), D1, A5, A6, A7, A8
(9)1 = 1² 이고 0 ≤ 1 이므로 s_z = √(s_z²) = √(1²) = 1(8), D1, A15, A7
∎
정리 T2
중심과 척도가 서로 다른 두 자료의 값도 z 로 바꾸면 같은 자에서 견줄 수 있다.
증명.
(1)자료 A 는 54, 58, 60, 62, 66 이다. 합이 300 이고 n = 5 이므로 x̄ = 60A12, N
(2)dᵢ = −6, −2, 0, 2, 6 이고 Σdᵢ² = 80 이므로 s² = 16, s = 4(1), D1, A15, N
(3)자료 B 는 11, 17, 20, 23, 29 이다. 합이 100 이므로 x̄ = 20A12, N
(4)dᵢ = −9, −3, 0, 3, 9 이고 Σdᵢ² = 180 이므로 s² = 36, s = 6(3), D1, A15, N
(5)A 의 값 62 는 z = (62 − 60)·4⁻¹ = 0.5(1), (2), D2, N
(6)B 의 값 29 는 z = (29 − 20)·6⁻¹ = 1.5(3), (4), D2, N
(7)원래 값으로는 62 가 29 보다 크지만, z 로는 0.5 가 1.5 보다 작다.(5), (6), N
(8)T1 에 의해 두 z 자료는 평균이 0 이고 표준편차가 1 로 같으므로 같은 자에서 읽힌다.T1
(9)원래 값을 곧바로 견주는 것은 두 자료의 중심과 척도가 다르므로 뜻이 없고, z 를 견주는 것은 뜻이 있다.(7), (8)
∎
따름정리 C
그러나 표준화는 분포의 모양을 바꾸지 않는다.
증명.
(1)0 < s 이므로 0 < s⁻¹A17, A19
(2)xᵢ < xⱼ 이면 양변에 −x̄ 를 더해 dᵢ < dⱼ 이고, s⁻¹ 을 곱해 zᵢ < zⱼ(1), D2, A16, A18
(3)그러므로 표준화는 자료의 순서를 바꾸지 않고, 각 값이 앉은 자리도 그대로다.(2), A20
(4)자료 0, 0, 0, 0, 10 을 보자. 합이 10 이므로 x̄ = 2 이고, dᵢ = −2, −2, −2, −2, 8 이며 Σdᵢ² = 80 이므로 s² = 16, s = 4 이다.A12, D1, A15, N
(5)이 자료의 중앙값은 0 이고 평균은 2 이므로 평균이 중앙값보다 크다. 큰 쪽으로 치우친 자료다.(4), N
(6)zᵢ 는 −0.5, −0.5, −0.5, −0.5, 2 이고, T1 대로 평균은 0 이고 표준편차는 1 이다.(4), D2, T1, N
(7)z 자료의 중앙값은 −0.5 이므로 평균 0 이 여전히 중앙값보다 크다. 치우침은 그대로다.(6), N
(8)자료 A 의 z 는 −1.5, −0.5, 0, 0.5, 1.5 이므로 z = −0.5 보다 큰 z 를 가진 자료가 셋이지만, 위 자료에서는 하나뿐이다.(2), (6), D2, N
(9)그러므로 같은 z 라도 자료 안에서 앉은 자리가 다르고, z 하나만으로 몇 번째인지를 읽을 수 없다.(3), (8)
(10)표준화가 바꾸는 것은 중심과 척도뿐이다. 치우친 자료는 표준화해도 치우쳐 있다.(3), (7), (9)
∎
비고
A17 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
중심을 옮기는 일과 척도를 맞추는 일을 나누어 보라. 둘 가운데 어느 것이 표준편차에 기대는가.