N(0,1) · 정규분포
독립적인 우연의 합에서 발견하는 종 모양과 그 조건
못이 박힌 판에 공 수천 개를 떨어뜨리면, 바닥에는 어떤 모양이 쌓일까?
독립적인 우연을 더하면, 어떤 조건에서 종 모양에 가까워질까
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
키, 시험 점수, 측정 오차, 공장 부품의 치수처럼 서로 아무 상관 없는 것들이 놀랍게도 같은 모양(종 모양)으로 흩어집니다. 우연일까요?
먼저 이 보드에서는 공 하나의 오른쪽 이동 횟수가 이항분포 B(12, 1/2)를 따릅니다. 공을 많이 떨어뜨리면 그 이항분포의 비율이 안정됩니다. 더하는 독립 시행의 수, 즉 단수를 늘려 표준화할 때 정규분포에 가까워진다는 이야기가 중심극한정리예요.
정규분포라고 가정한 경우에는 평균 μ와 표준편차 σ 단 두 숫자로 분포 전체를 정할 수 있습니다. 일반적인 분포에서는 두 숫자만으로 충분하지 않아요. '상위 2%는 몇 점부터인가' 같은 질문에 답하는 통계적 추론이 여기서 시작돼요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 못이 12단 박힌 판에 공 수천 개를 떨어뜨리면, 바닥엔 어떤 모양이 쌓일까요?
공을 떨어뜨려보세요 (매 단에서 좌/우 반반)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
정규분포는 모든 우연의 기본 모양이라는 뜻이 아닙니다. 서로 독립인 같은 분포의 변수들이 유한한 평균과 양의 유한한 분산을 가질 때, 표준화한 합이 정규분포로 가까워진다는 것이 대표적인 중심극한정리입니다.
12번의 좌우 선택을 합친 골턴 보드의 도착 칸은 이산적인 이항분포입니다. 공을 더 많이 떨어뜨리는 것은 그 분포를 더 안정적으로 관찰하는 일입니다. 단수를 늘려 합의 항 수를 키우는 일과는 다릅니다.
정규분포는 우연의 세계에 숨어 있던 질서다.
공 하나하나의 경로는 완전히 무작위지만, 수천 개가 쌓인 전체는 매번 같은 곡선을 그립니다. 무질서한 개체, 질서 있는 집단. 통계학의 근본 정서예요.
μ는 종의 위치, σ는 종의 폭 — 두 숫자가 전부다.
정규분포는 모수 두 개로 완전히 결정됩니다. 그래서 '평균과 표준편차를 안다'는 것이 '분포 전체를 안다'와 같은 말이 돼요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
정규 근사에는 조건이 있습니다. 공의 개수, 한 공이 거치는 단수, 표준화의 역할을 구분합니다.
골턴 보드에서 목격한 종 모양을 수식으로 쓰면 다음과 같습니다.
공식 해부 — 골턴 보드와 두 슬라이더에 짝지어 보기
∼ , )
정규분포
평균 μ, 분산 σ²로 완전히 결정되는 분포입니다. 조종석의 두 슬라이더가 이 두 모수였어요.
68-95-99.7 규칙
±1σ, ±2σ, ±3σ 안에 드는 비율은 어떤 정규분포에서든 같습니다. 곡선 아래 넓이가 확률이라는 것(적분!)이 여기서 쓰여요.
중심극한정리 (감각판)
독립·동분포이고 평균과 분산이 유한하며 분산이 양수일 때, 중심을 빼고 표준편차로 나눈 합이 표준정규분포로 수렴합니다. 12단 보드의 정확한 분포는 이항분포이며, 종 모양의 연속 곡선은 근사입니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
종 모양은 동전·주사위처럼 특별한 우연에서만 나온다.
대표적인 중심극한정리는 서로 독립이고 같은 분포를 따르며 유한한 평균과 양의 유한한 분산을 가진 변수들을 다룹니다. 이 조건에서 합을 표준화하면 정규분포로 수렴해요. 독립성이나 분산 조건을 빼고 모든 우연에 적용할 수는 없습니다.
정규분포에서는 어떤 값이든 나올 수 있으니 예측이 불가능하다.
정규분포를 가정하면 구간별 비율을 계산할 수 있습니다. ±1σ 안에 약 68%, ±2σ 안에 약 95%, ±3σ 안에 약 99.7%예요. 이 규칙이 품질관리와 통계적 추론의 뼈대입니다.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
시험 등급 산정
'상위 4%가 1등급'은 정규분포 가정 위에서 σ로 계산됩니다. 표준점수의 존재 이유예요.
공장의 품질관리
부품 치수가 ±3σ를 벗어날 확률은 0.3%입니다. 관리 한계선이 σ로 그어져요.
측정 오차
같은 것을 여러 번 잰 값들은 참값 주위에 종 모양으로 흩어집니다. 평균을 내면 오차가 줄어드는 근거예요.
금융의 (한계 있는) 가정
수익률을 정규분포로 가정한 모델이 많지만, 실제 시장은 꼬리가 더 두껍습니다. 가정의 한계를 아는 것도 문해력이에요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
골턴 보드에 공을 더 많이 넣으면 칸의 개수도 늘어나나요?
생각한 뒤 설명 확인하기
아닙니다. 고정된 단수에서는 칸의 수와 이론적 분포가 그대로입니다. 경험적 비율이 더 안정될 뿐입니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 키가 평균 170cm, σ 7cm인 정규분포를 따를 때, 163~177cm 사이에 드는 사람은 대략 몇 %일까요?
2. 주사위 1개의 눈은 평평한 균등분포입니다. 주사위 100개를 던져 합을 내면 그 분포는?
3. 정규분포에서 σ만 2배로 키우면 종은 어떻게 변할까요?
4. 평균 170cm, σ 7cm인 키 분포에서 95%가 드는 구간의 위쪽 끝은 몇 cm일까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1키가 평균 170cm, 표준편차 7cm인 정규분포를 따른다고 가정하면, 약 95%가 어느 범위에 있을까요?답 보기 ▾
±2σ 규칙으로 170 ± 14, 즉 약 156~184cm입니다. 두 숫자만으로 집단의 95%를 특정할 수 있어요.
Q2z점수가 +3인 시험 점수는 상위 몇 %쯤일까요?답 보기 ▾
99.7% 규칙에 의해 ±3σ 밖은 0.3%이고, 위쪽만 보면 약 0.15%입니다. 1,000명 중 1~2명 수준의 극단값이에요.
Q3주사위 1개의 눈은 균등분포인데, 주사위 100개의 합은 왜 종 모양일까요?답 보기 ▾
중심극한정리 때문입니다. 재료(균등분포)와 무관하게 '독립 우연의 합'은 종 모양으로 모여요. 골턴 보드의 공이 정확히 이 실험이었죠.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
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믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
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