PROOF 200
증명하라.
더할수록 정규분포에 가까워진다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
X₁, …, Xₙ 은 서로 독립이고 같은 분포를 따른다: E(Xᵢ) = μ, Var(Xᵢ) = σ² > 0. Sₙ = X₁ + ⋯ + Xₙ, Zₙ = (Sₙ − nμ)/(σ√n) 으로 정한다.
증명.
(1)분산은 Var(X) = E[(X − E X)²], 공분산은 Cov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] 로 정한다.약속
(2)Zₙ 은 Sₙ 에서 기대값을 빼고 σ√n 으로 나눈 것이다. 이 두 상수가 옳게 골라졌다는 것이 T1 의 내용이다.약속
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보조정리 L1
E(Sₙ) = nμ
증명.
E(Sₙ) = E(X₁) + ⋯ + E(Xₙ) = nμD1, A1, N
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보조정리 L2
Var(Sₙ) = nσ²
증명.
(1)Sₙ − nμ = Σ(Xᵢ − μ)D1, L1, N
(2)(Sₙ − nμ)² = ΣᵢΣⱼ (Xᵢ − μ)(Xⱼ − μ)(1), A3
(3)Var(Sₙ) = E[(Sₙ − E Sₙ)²] = ΣᵢΣⱼ E[(Xᵢ−μ)(Xⱼ−μ)]D1, L1, (2), A1
(4)i ≠ j 인 항은 Cov(Xᵢ, Xⱼ) = 0. 모두 n(n−1) 개가 사라진다.D1, A2
(5)i = j 인 항은 E[(Xᵢ−μ)²] = σ². 모두 n 개가 남는다.D1
(6)Var(Sₙ) = nσ²(3), (4), (5), N
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정리 T1
모든 n 에 대하여 E(Zₙ) = 0, Var(Zₙ) = 1
증명.
(1)E(Zₙ) = (E(Sₙ) − nμ)/(σ√n) = 0D1, L1, A1, N
(2)Zₙ − E(Zₙ) = (Sₙ − nμ)/(σ√n) 이므로 Var(Zₙ) = E[(Sₙ−nμ)²]/(σ²n) = Var(Sₙ)/(σ²n)D1, (1), A1, N
(3) = nσ²/(σ²n) = 1(2), L2, N
(4)이 등식은 극한이 아니라 유한한 각 n 에서 성립한다. 이 목록의 공리만으로 완전히 증명된다.(1), (3)
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진술 T2
n 이 커질수록 Zₙ 의 분포는 표준정규분포 N(0,1) 에 가까워진다: 모든 실수 z 에서 P(Zₙ ≤ z) → Φ(z).
(1)Φ 는 N(0,1) 의 분포함수다. 명제는 각 점 z 에서의 분포함수 수렴이다.약속
(2)이 수렴의 증명에는 특성함수 또는 모멘트 도구가 필요하다. 이 목록의 공리로는 닿지 않으므로, 여기서는 증명 없이 진술로 둔다.약속
(3)진술의 전제에는 독립이 들어 있다. 독립이 빠지면 이 수렴 자체가 성립하지 않는다.D1, A2
증명 생략.
따름정리 C
평균과 분산이 맞는다는 것과, 분포가 정규로 간다는 것은 다른 층위다.
증명.
(1)T1 은 유한한 각 n 에서 성립하는 등식이고, 이 목록의 공리에서 완전히 증명되었다.T1
(2)T2 는 n → ∞ 에서의 분포 수렴이고, 이 목록 밖의 도구를 요구하는 진술이다.T2
(3)T1 은 Zₙ 의 처음 두 모멘트를 고정할 뿐, 분포를 정하지 않는다. 평균 0 · 분산 1 인 분포는 무수히 많다.T1, N
(4)그 무수한 가능성 가운데 정규 하나로 모인다는 것이 T2 의 내용이다. 증명된 것과 진술된 것의 경계가 여기 있다.(3), T2
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
표준화의 두 상수 nμ 와 σ√n 이 어느 줄에 기대는지 확인하라.