PROOF 174
증명하라.
신뢰구간이 말하는 것과 말하지 않는 것
표본 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
표본 X = (X₁, …, Xₙ) 만으로 계산되는 두 값 L(X) 와 U(X) 가 L(X) ≤ U(X) 를 만족할 때 I(X) = [L(X), U(X)] 를 구간추정이라 한다.
증명.
(1)μ 는 자료를 낳는 규칙이 가진 값이며 관측되지 않는다. L 과 U 를 계산할 때 μ 를 쓰지 않는다.약속
(2)L 과 U 는 X 의 함수이므로, X 가 확률변수이면 L(X) 와 U(X) 도 확률변수다.(1), A4
(3)그러므로 I(X) 는 하나의 구간이 아니라 표본마다 달라지는 구간이다.(2), A4
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정의 D2
사건 C = 「L(X) ≤ μ ≤ U(X)」 에 대하여 P(C) = 0.95 일 때 I(X) 를 신뢰수준 95% 의 신뢰구간이라 한다.
증명.
(1)0 ≤ 0.95 ≤ 1 이므로 0.95 는 확률로 쓸 수 있는 값이다.A1, N
(2)C 는 표본에 따라 일어나기도 하고 일어나지 않기도 하는 사건이며, P 는 표본을 뽑는 절차에 붙는다.D1, A4
(3)이 정의는 절차 전체에 대해 말할 뿐, 어떤 한 표본에 대해서는 아무 말도 하지 않는다.(2), D1
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정리 T1
표본을 하나 얻어 X = x 가 되면 구간은 정해진 두 수 l, u 가 된다. 이때 「μ 가 그 구간 안에 있을 확률」은 0 이거나 1 이며 0.95 가 아니다.
증명.
(1)X = x 라 하자. 함수의 값은 입력이 정해지면 하나로 정해지므로 L(x) = l 과 U(x) = u 는 정해진 수다.가정, D1, A5
(2)μ 는 정해진 상수다.A6
(3)그러므로 「l ≤ μ ≤ u」는 정해진 세 수 사이의 관계이며, 배중률에 의해 참이거나 거짓이다.(1), (2), A7
(4)참이면 확실히 일어난 것이므로 확률은 1 이고, 거짓이면 일어날 수 없는 것이므로 확률은 0 이다.(3), A2
(5)0 ≠ 0.95 이고 1 ≠ 0.95 이므로 그 확률은 0.95 가 아니다.(4), N
(6)l 과 u 는 관측되지만 μ 는 관측되지 않으므로, 그것이 0 인지 1 인지는 알 수 없다.(1), (4), D1
(7)알 수 없다는 것과 0.95 라는 것은 서로 다른 말이다.(5), (6)
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정리 T2
같은 절차를 되풀이해 얻는 구간들 가운데 μ 를 덮는 것의 비율은 0.95 에 가까워진다.
증명.
(1)되풀이할 때마다 새 표본 X 를 얻고 새 구간 I(X) 를 얻는다.D1
(2)각 되풀이에서 C 가 일어나거나 일어나지 않거나 둘 중 하나이고, P(C) = 0.95 이다.D2, A3
(3)큰 수의 법칙에 의해 되풀이를 늘리면 C 가 일어난 비율은 P(C) = 0.95 에 가까워진다.(2), A8
(4)그러므로 0.95 는 구간 하나에 붙는 수가 아니라 절차에 붙는 수다.(3), D1, D2
(5)100 번 되풀이해 100 개의 구간을 얻으면 그 가운데 95 개쯤이 μ 를 덮는다. 어느 95 개인지는 정해지지 않는다.(3), N
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따름정리 C
「이 구간 안에 μ 가 있을 확률이 0.95 다」는 D2 가 말하는 확률과 다른 것을 가리킨다.
증명.
(1)D2 의 확률은 사건 C 에 붙고, C 는 표본 X 에 대한 사건이다.D2, D1
(2)표본을 얻은 뒤의 구간 [l, u] 에 대하여 「μ 가 그 안에 있을 확률」은 0 이거나 1 이다.T1
(3)0.95 는 0 도 1 도 아니므로, 두 문장에서 「확률」이라는 말이 같은 수를 가리키지 않는다.(1), (2), N
(4)그러므로 95% 는 얻은 구간 하나가 μ 를 담고 있을 정도가 아니라, 절차를 되풀이할 때 구간이 μ 를 덮는 비율이다.(3), T2
(5)「되풀이하면 95% 가 덮는다」는 D2 에서 따라 나오고, 「이 구간이 덮을 확률이 95% 다」는 따라 나오지 않는다.(4), T2, D2
(6)신뢰구간이 말하는 것은 절차의 성질이고, 말하지 않는 것은 얻은 구간 하나의 성질이다.(4), (5)
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비고
A6 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
무엇이 흔들리고 무엇이 고정되어 있는지 확인하라. 0.95 가 어디에 붙는지는 거기서 갈린다.