PROOF 199
증명하라.
표본분산은 n−1 로 나눈다
확률공간 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
X₁, …, Xₙ 은 서로 독립이고 같은 분포를 따른다: E(Xᵢ) = μ, Var(Xᵢ) = E[(Xᵢ − μ)²] = σ². 표본평균을 X̄ = (X₁ + ⋯ + Xₙ)/n 으로 정한다.
증명.
(1)분산은 Var(X) = E[(X − E X)²], 공분산은 Cov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] 로 정한다.약속
(2)유한 확률공간 위에서 생각한다. 기대값은 표본점별 합으로 정해진다.약속
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보조정리 L1
E(X̄) = μ
증명.
(1)E(X̄) = (1/n)(E(X₁) + ⋯ + E(Xₙ))D1, A1
(2) = (1/n) · nμ = μ(1), D1, N
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보조정리 L2
Var(X̄) = σ²/n
증명.
(1)X̄ − μ = (1/n) Σ(Xᵢ − μ)D1, N
(2)(X̄ − μ)² = (1/n²) ΣᵢΣⱼ (Xᵢ − μ)(Xⱼ − μ)(1), A3, N
(3)E[(X̄ − μ)²] = (1/n²) ΣᵢΣⱼ E[(Xᵢ − μ)(Xⱼ − μ)](2), A1
(4)i ≠ j 인 항은 E[(Xᵢ−μ)(Xⱼ−μ)] = Cov(Xᵢ, Xⱼ) = 0. 모두 n(n−1) 개가 사라진다.D1, A2
(5)i = j 인 항은 E[(Xᵢ−μ)²] = σ². 모두 n 개가 남는다.D1
(6)E X̄ = μ 이므로 Var(X̄) = E[(X̄−μ)²] = (1/n²) · nσ² = σ²/n(3), (4), (5), L1, D1, N
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보조정리 L3
Σ(Xᵢ − X̄)² = Σ(Xᵢ − μ)² − n(X̄ − μ)²
증명.
(1)Xᵢ − X̄ = (Xᵢ − μ) − (X̄ − μ)N
(2)(Xᵢ − X̄)² = (Xᵢ−μ)² − 2(Xᵢ−μ)(X̄−μ) + (X̄−μ)²(1), A4
(3)i 에 대해 합하면 Σ(Xᵢ−X̄)² = Σ(Xᵢ−μ)² − 2(X̄−μ) Σ(Xᵢ−μ) + n(X̄−μ)²(2), N
(4)Σ(Xᵢ − μ) = ΣXᵢ − nμ = n(X̄ − μ)D1, N
(5)가운데 항은 −2(X̄−μ) · n(X̄−μ) = −2n(X̄−μ)²(3), (4), N
(6)Σ(Xᵢ−X̄)² = Σ(Xᵢ−μ)² − 2n(X̄−μ)² + n(X̄−μ)² = Σ(Xᵢ−μ)² − n(X̄−μ)²(3), (5), N
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정리 T1
E[Σ(Xᵢ − X̄)²] = (n − 1)σ²
증명.
(1)E[Σ(Xᵢ−X̄)²] = Σ E[(Xᵢ−μ)²] − n · E[(X̄−μ)²]L3, A1
(2)Σ E[(Xᵢ−μ)²] = nσ²D1, N
(3)E[(X̄−μ)²] = Var(X̄) = σ²/nL1, L2, D1
(4)E[Σ(Xᵢ−X̄)²] = nσ² − n · (σ²/n) = nσ² − σ² = (n−1)σ²(1), (2), (3), N
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따름정리 C
s² = Σ(Xᵢ − X̄)²/(n − 1) 로 정하면 E(s²) = σ². n 으로 나누면 기대값은 σ² 에 못 미친다.
증명.
(1)E(s²) = E[Σ(Xᵢ−X̄)²]/(n−1) = (n−1)σ²/(n−1) = σ²T1, A1, N
(2)n 으로 나누면 E[Σ(Xᵢ−X̄)²/n] = (n−1)σ²/n = σ² − σ²/nT1, A1, N
(3)σ² > 0 이면 이 값은 언제나 σ² 보다 작다. 편차를 μ 가 아니라 X̄ 에서 재는 순간, 제곱합은 n(X̄−μ)² 만큼 — 기대값으로 σ² 하나만큼 — 계통적으로 줄어든다.(2), L3, N
(4)그러므로 기대값이 σ² 과 일치하는 나눗수는 n − 1 이다.(1), (2)
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비고
A2 는 이 증명에서 제거할 수 있는가.
n − 1 이라는 수가 어느 줄에서 태어나는지 확인하라. 독립이 무너지면 그 수도 무너진다.