PROOF 65
증명하라.
분산은 왜 제곱하는가
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
자료 x₁, …, xₙ (n ≥ 1) 의 평균 x̄ 는 n x̄ = x₁ + ⋯ + xₙ 을 만족하는 값이다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, t² 은 t·t 를 뜻한다.약속
(2)이러한 x̄ 가 존재하며 하나뿐이라는 것은 증명 64 에서 얻었다.약속
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정의 D2
dᵢ = xᵢ − x̄ 를 편차라 한다.
증명.
편차는 자료가 평균에서 어느 쪽으로 얼마나 떨어져 있는지를 부호와 함께 담는다.약속
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정의 D3
기준값 c 에 대하여 S(c) = Σ(xᵢ − c)² 를 c 에 대한 제곱합이라 한다.
증명.
c = x̄ 이면 S(x̄) = Σdᵢ² 이다.D2
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보조정리 L1
e = x̄ − c 라 하면 모든 c 에 대하여 S(c) = S(x̄) + n e²
증명.
(1)xᵢ − c = (xᵢ − x̄) + (x̄ − c) = dᵢ + eD2, A4, A5, A6, A7
(2)(dᵢ + e)² = dᵢ² + 2dᵢe + e²(1), A14
(3)S(c) = Σdᵢ² + Σ(2dᵢe) + Σe²(2), D3, A11
(4)2dᵢe = (2e)dᵢA2, A3
(5)Σ((2e)dᵢ) = (2e)Σdᵢ(4), A12
(6)Σdᵢ = 0D2, A15
(7)(2e) × 0 = 0(5), (6), A9
(8)Σe² = n e²A13
(9)S(c) = Σdᵢ² + n e² = S(x̄) + n e²(3), (7), (8), A6, D3
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정리 T1
편차의 합은 자료가 무엇이든 0 이다. 그러므로 그 값은 서로 다른 자료를 구별하지 못한다.
증명.
(1)어떤 자료에 대해서도 Σdᵢ = 0D2, A15
(2)자료 5, 5 의 평균은 5 이고 편차는 0, 0 이다.D1, D2, N
(3)자료 0, 10 의 평균은 5 이고 편차는 −5, 5 이다.D1, D2, N
(4)두 자료는 서로 다르지만 편차의 합은 모두 0 이다.(1), (2), (3)
(5)편차의 합은 자료에 따라 달라지지 않으므로 흩어진 정도를 나타낼 수 없다. 부호가 서로 지우기 때문이다.(1), (4)
(6)그러므로 흩어진 정도를 재려면 부호를 없앤 양을 써야 한다. 제곱합 S(c) 가 그 하나다.(5), D3
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정리 T2
S(c) 를 가장 작게 하는 c 는 평균 x̄ 뿐이다.
증명.
(1)e = x̄ − c 라 하면 S(c) = S(x̄) + n e²L1
(2)c ≠ x̄ 라 하자. e = 0 이면 양변에 c 를 더해 x̄ = c 가 되므로 e ≠ 0 이다.가정, E, A4, A5, A6, A7
(3)0 < e²(2), A16
(4)0 < n 이므로 0 < n e²A19, (3), A17
(5)S(x̄) < S(x̄) + n e²(4), A18, A5, A6
(6)그러므로 S(x̄) < S(c)(1), (5)
(7)c ≠ x̄ 인 모든 c 에서 성립하므로 S 의 최솟값은 c = x̄ 에서만 나온다.(6)
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따름정리 C
분산을 σ² = S(x̄)n⁻¹ 이라 하면 모든 c 에 대하여 S(c)n⁻¹ = σ² + e² 이다.
증명.
(1)n ≠ 0 이므로 n⁻¹ 이 있고 n·n⁻¹ = 1A19, A10
(2)S(c) = S(x̄) + n e²L1
(3)S(c)n⁻¹ = S(x̄)n⁻¹ + (n e²)n⁻¹(2), A1, A3, E
(4)(n e²)n⁻¹ = (n·n⁻¹)e² = 1 × e² = e²A2, A3, (1), A8
(5)S(c)n⁻¹ = σ² + e²(3), (4)
(6)기준을 평균에서 옮기면 제곱평균은 정확히 e² 만큼 커진다. 분산은 그 값이 가장 작은 자리에서 잰 값이다.(5), T2
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비고
A16 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
식을 고치는 줄과 값을 견주는 줄을 나누어 보라. 31편과 같은 자리다.