PROOF 171
증명하라.
표준편차는 원래 단위로 돌아온다
유한 자료 위에서.
한 줄씩, 이유를 따라가 봅시다
먼저 이미 주어진 것과 앞으로 보여야 할 것을 나누어 읽어 보세요. 다음 줄로 넘어갈 때마다 어떤 정의나 앞의 결과를 사용했는지 묻습니다. 연결이 보이지 않으면 결론을 외우기보다 그 전제로 잠시 돌아가도 좋습니다.
정의 D1
dᵢ = xᵢ − x̄ 라 하고 σ² = (Σdᵢ²)n⁻¹ 을 분산, σ = √(σ²) 을 표준편차라 한다.
증명.
(1)Σaᵢ 는 a₁ + ⋯ + aₙ 을, u − v 는 u + (−v) 를, t² 은 t·t 를 뜻한다. 덧셈의 결합과 교환에 의해 이 합은 더하는 차례와 묶는 법에 관계없이 하나로 정해진다.약속, A1, A2
(2)n ≥ 1 이므로 n ≠ 0 이고 n⁻¹ 이 있다.A10, A6
(3)제곱근은 음이 아닌 쪽으로 정하므로 σ 는 하나로 정해지고 0 ≤ σ 이다.A11
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정의 D2
상수 c 에 대하여 yᵢ = c xᵢ 로 얻은 자료를 x 의 c 배라 한다.
증명.
길이를 m 에서 cm 로 고쳐 적는 것처럼, 단위를 바꾸는 일이 곧 자료를 상수배 하는 일이다.약속
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보조정리 L1
yᵢ = c xᵢ 이면 ȳ = c x̄ 이다.
증명.
(1)n ȳ = Σyᵢ = Σ(c xᵢ)A9, D2
(2)Σ(c xᵢ) = c Σxᵢ(1), A8
(3)Σxᵢ = n x̄ 이므로 n ȳ = c(n x̄)(2), A9, E
(4)c(n x̄) = n(c x̄)A4, A5
(5)n ≠ 0 이므로 n 을 소거하면 ȳ = c x̄(3), (4), A10, A7
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정리 T1
yᵢ = c xᵢ 이면 σ_y² = c² σ_x² 이다.
증명.
(1)yᵢ − ȳ = c xᵢ + (−(c x̄)) = c xᵢ + c(−x̄) = c(xᵢ − x̄)D2, L1, A15, A3
(2)(yᵢ − ȳ)² = (c dᵢ)² = c² dᵢ²(1), D1, A4, A5
(3)Σ(yᵢ − ȳ)² = Σ(c² dᵢ²) = c² Σdᵢ²(2), A8
(4)σ_y² = (c² Σdᵢ²)n⁻¹ = c²((Σdᵢ²)n⁻¹) = c² σ_x²(3), D1, A4, A5
(5)자료 1, 1, 3, 3 은 x̄ = 2, dᵢ = −1, −1, 1, 1, Σdᵢ² = 4 이므로 σ_x² = 1 이다.A9, D1, N
(6)c = 100 이면 자료는 100, 100, 300, 300 이고 ȳ = 200, Σ(yᵢ − ȳ)² = 40000, σ_y² = 10000 이다.(5), D2, L1, D1, N
(7)100² × 1 = 10000 이므로 (4) 와 맞는다.(4), (5), (6), N
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정리 T2
yᵢ = c xᵢ 이면 σ_y = |c| σ_x 이다.
증명.
(1)σ_y = √(σ_y²) = √(c² σ_x²)D1, T1
(2)c² σ_x² = (c σ_x)²A4, A5
(3)√((c σ_x)²) = |c σ_x|(2), A12
(4)|c σ_x| = |c| |σ_x|(3), A13
(5)0 ≤ σ_x 이므로 |σ_x| = σ_xD1, A11, A14
(6)그러므로 σ_y = |c| σ_x(1), (3), (4), (5)
(7)자료 1, 1, 3, 3 에서 σ_x = √1 = 1 이고, c = 100 이면 σ_y = √10000 = 100 = |100| × 1 이다.T1, D1, A11, N
(8)c = −1 이면 자료는 −1, −1, −3, −3 이고 σ_y² = 1, σ_y = 1 이다. c σ_x = −1 이므로 배수는 c 가 아니라 |c| 다.T1, D1, A11, N
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따름정리 C
자료와 같은 배수로 커지는 것은 표준편차뿐이다.
증명.
(1)자료를 c 배 하면 평균은 c 배, 분산은 c² 배가 된다.L1, T1
(2)표준편차는 |c| 배가 되므로, 자료와 같은 배수로 커진다.T2
(3)길이를 m 에서 cm 로 고쳐 적으면 c = 100 이다. 이때 분산은 10000 배가 되고 표준편차는 100 배가 된다.D2, T1, T2, N
(4)그러므로 분산은 자료와 다른 배수로 움직이고, 자료 옆에 나란히 놓고 읽을 수 없다.(1), (3)
(5)제곱은 배수를 c 에서 c² 로 바꾸고, 제곱근은 c² 를 |c| 로 되돌린다. 되돌아온 자리가 자료의 자리다.(1), (2), D1
(6)되돌아온 값이 c 가 아니라 |c| 인 것도 뜻이 있다. 자료의 부호를 모두 뒤집어도 흩어진 정도는 같기 때문이다.T2, N
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비고
A11 은 이 증명에서 제거할 수 있는가.
제곱근이 나오는 줄과 나오지 않는 줄을 나누어 보라. 어느 층이 규약에 기대는지 확인하라.