카지노가 길게 보면 반드시 이기도록 설계된 숫자
1,000원짜리 복권 한 장. 이 종이의 '진짜 가치'는 얼마일까?
평균적으로 남는 것을 재는 숫자, 기대값
Experiment
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예측 먼저 — 1,000원짜리 복권(1등 10억, 확률 800만분의 1 등)을 1만 장 사면, 당첨금은 얼마나 돌아올까요?
1만 장 사보기 (지출 1,000만원)
더 읽기 — 왜 필요한가 · 인사이트 · 흔한 오해 · 수식 정리펼치기 ▾
Why
왜 필요한가
복권을 살까, 보험에 들까, 이 투자를 할까처럼 결과를 알 수 없는 선택지들을 비교해야 하는 순간이 인생에는 수없이 많습니다.
비교하려면 저울이 필요해요. 각 결과에 '값 × 그 확률'을 곱해 전부 더한 것, 기대값은 불확실한 미래 전체를 하나의 숫자로 요약합니다.
카지노, 보험사, 복권 사업자는 전부 이 숫자 위에서 설계된 사업입니다. 기대값을 계산할 줄 아는 사람과 모르는 사람은 같은 게임을 해도 다른 게임을 하는 셈이에요.
Insight
영상에서 말한 인사이트
“기대값은 확률 세계의 무게중심이다.”
결과들을 수직선 위의 추라고 생각하면, 각 추의 무게가 확률입니다. 저울이 균형을 이루는 지점, 그것이 기대값이에요.
“하우스는 항상 이긴다 — 기대값이 설계돼 있으니까.”
카지노 게임의 기대값은 전부 살짝 음수로 설계돼 있습니다. 한 판은 누구든 이길 수 있지만, 대수의 법칙이 반복 위에서 하우스의 몫을 보장해요.
Misconception
사람들이 흔히 하는 오해
기대값이 낮으면 그 선택은 무조건 틀린 것이다.
기대값은 '장기 반복'의 평균입니다. 보험은 기대값이 음수여도 파산 위험을 없애주므로 합리적일 수 있어요. 한 번뿐인 큰 위험 앞에서는 분산(위험)도 함께 봐야 합니다.
기대값 500원이면 실제로 500원 근처를 자주 받는다.
복권의 기대값 140원은 '한 번도 받을 수 없는 금액'일 수 있습니다(대부분 0원, 아주 가끔 큰 돈). 기대값은 결과의 예언이 아니라 반복의 무게중심이에요.
Formula
수식으로 정리하기
1만 장 실험에서 확인한 '평균적으로 남는 것'을 수식으로 정리합니다.
공식 해부 — 확률 저울 실험과 짝지어 보기
= ×
기대값의 정의
각 결과의 값 × 그 확률을 전부 더한 것입니다. 복권이라면 (10억 × 1/800만) + (100만 × 1/10만) + …이에요.
대수의 법칙과의 연결
반복 횟수가 커질수록 실제 평균이 기대값으로 모입니다. 1만 장 시뮬의 결과가 매번 기대값 근처였던 이유예요.
공정한 가격
기대 상금이 곧 공정한 가격입니다. 실제 가격과의 차이가 판매자의 몫(하우스엣지)이에요. 복권은 약 50%가 여기에 해당합니다.
In Real Life
현실에서 만나는 곳
보험료 설계
보험료는 대략 사고확률 × 보상액 + 운영비입니다. 기대값 관점에선 손해지만, 감당 못 할 위험을 없애는 값어치가 있어요.
카지노와 복권
룰렛의 기대수익률은 −2.7%, 복권은 약 −50%입니다. '재미의 가격'을 알고 즐기는 것과 모르고 하는 것은 달라요.
투자 판단
'성공 시 +30%(확률 60%), 실패 시 −20%(확률 40%)'면 기대수익률 +10%입니다. 시나리오 투자 판단의 기본 틀이에요.
게임과 AI의 선택
체스 AI가 수를 고르는 기준도 '각 수의 기대 승률'입니다. 불확실성 아래 최적 선택의 표준 도구예요.
Practice
풀어보기 — 유형 정복
유형별 문제 4개 — 스스로 풀어 정복하기탭해서 문제 풀기 ▾
10% 확률로 5,000원을 받고, 90% 확률로 0원을 받는 뽑기가 있습니다. 기대값은?
기대값이 500원인 뽑기를 딱 한 번 하면, 500원 근처를 받을 가능성이 높을까요?
보험은 가입자 입장에서 기대값이 음수입니다. 그럼 가입은 항상 비합리적일까요?
참가비 3,000원, 기대 상금 3,500원인 게임을 아주 많이 반복하면 어떻게 될까요?
증명 실험실
여기서는 비유를 쓰지 않습니다.
믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
Connection
개념은 이어진다
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