E(X) · 기대값
평균적으로 남는 것을 재는 숫자, 기대값
1,000원짜리 복권 한 장. 이 종이의 '진짜 가치'는 얼마일까?
카지노가 길게 보면 반드시 이기도록 설계된 숫자
몰입형 화면으로도 볼 수 있어요 →이 질문이 왜 필요할까요?
복권을 살까, 보험에 들까, 이 투자를 할까처럼 결과를 알 수 없는 선택지들을 비교해야 하는 순간이 인생에는 수없이 많습니다.
비교하려면 저울이 필요해요. 각 결과에 '값 × 그 확률'을 곱해 전부 더한 것, 기대값은 불확실한 미래 전체를 하나의 숫자로 요약합니다.
카지노, 보험사, 복권 사업자는 전부 이 숫자 위에서 설계된 사업입니다. 기대값을 계산할 줄 아는 사람과 모르는 사람은 같은 게임을 해도 다른 게임을 하는 셈이에요.
잠깐, 직접 확인해 볼까요?
먼저 결과를 예상해 보세요. 값을 하나씩 바꾸면서 예상과 무엇이 다른지 살펴봅시다.
예측 먼저 — 1,000원짜리 복권(1등 10억, 확률 800만분의 1 등)을 1만 장 사면, 당첨금은 얼마나 돌아올까요?
1만 장 사보기 (지출 1,000만원)
같은 생각을 다른 말로 읽어 봅시다
기대값은 가장 자주 나오는 값이나 다음번에 나올 값이 아닙니다. 가능한 결과마다 확률을 가중치로 붙여 평균한 값입니다.
공정한 주사위의 기대값은 (1+2+3+4+5+6)/6=3.5입니다. 실제로 3.5가 나오지는 않습니다. 오래 반복한 평균을 설명하는 값과 한 번의 결과를 구분해야 합니다.
기대값은 확률 세계의 무게중심이다.
결과들을 수직선 위의 추라고 생각하면, 각 추의 무게가 확률입니다. 저울이 균형을 이루는 지점, 그것이 기대값이에요.
하우스는 항상 이긴다 — 기대값이 설계돼 있으니까.
카지노 게임의 기대값은 전부 살짝 음수로 설계돼 있습니다. 한 판은 누구든 이길 수 있지만, 대수의 법칙이 반복 위에서 하우스의 몫을 보장해요.
이제 정의와 조건을 함께 읽습니다
기대값이 존재한다는 조건과 반복 평균의 수렴 조건을 구분합니다. 의사결정에는 손실의 크기와 분산도 필요할 수 있습니다.
1만 장 실험에서 확인한 '평균적으로 남는 것'을 수식으로 정리합니다.
공식 해부 — 확률 저울 실험과 짝지어 보기
= ×
기대값의 정의
각 결과의 값 × 그 확률을 전부 더한 것입니다. 복권이라면 (10억 × 1/800만) + (100만 × 1/10만) + …이에요.
대수의 법칙과의 연결
반복 횟수가 커질수록 실제 평균이 기대값으로 모입니다. 1만 장 시뮬의 결과가 매번 기대값 근처였던 이유예요.
공정한 가격
기대 상금이 곧 공정한 가격입니다. 실제 가격과의 차이가 판매자의 몫(하우스엣지)이에요. 복권은 약 50%가 여기에 해당합니다.
여기서 한 번 더 구분해 볼까요?
기대값이 낮으면 그 선택은 무조건 틀린 것이다.
기대값은 '장기 반복'의 평균입니다. 보험은 기대값이 음수여도 파산 위험을 없애주므로 합리적일 수 있어요. 한 번뿐인 큰 위험 앞에서는 분산(위험)도 함께 봐야 합니다.
기대값 500원이면 실제로 500원 근처를 자주 받는다.
복권의 기대값 140원은 '한 번도 받을 수 없는 금액'일 수 있습니다(대부분 0원, 아주 가끔 큰 돈). 기대값은 결과의 예언이 아니라 반복의 무게중심이에요.
다른 질문에서는 어떻게 쓰일까요?
보험료 설계
보험료는 대략 사고확률 × 보상액 + 운영비입니다. 기대값 관점에선 손해지만, 감당 못 할 위험을 없애는 값어치가 있어요.
카지노와 복권
룰렛의 기대수익률은 −2.7%, 복권은 약 −50%입니다. '재미의 가격'을 알고 즐기는 것과 모르고 하는 것은 달라요.
투자 판단
'성공 시 +30%(확률 60%), 실패 시 −20%(확률 40%)'면 기대수익률 +10%입니다. 시나리오 투자 판단의 기본 틀이에요.
게임과 AI의 선택
체스 AI가 수를 고르는 기준도 '각 수의 기대 승률'입니다. 불확실성 아래 최적 선택의 표준 도구예요.
이번에는 내 말로 설명해 보세요
기대값이 더 높은 선택이 누구에게나 더 좋은 선택일까요?
생각한 뒤 설명 확인하기
항상 그렇지는 않습니다. 감당할 수 없는 손실이나 변동성이 있으면 평균만으로 선택을 정할 수 없습니다.
계산과 개념을 문제로 확인하기 (4)
문제 완료 0 / 4
1. 10% 확률로 5,000원을 받고, 90% 확률로 0원을 받는 뽑기가 있습니다. 기대값은?
2. 기대값이 500원인 뽑기를 딱 한 번 하면, 500원 근처를 받을 가능성이 높을까요?
3. 보험은 가입자 입장에서 기대값이 음수입니다. 그럼 가입은 항상 비합리적일까요?
4. 참가비 3,000원, 기대 상금 3,500원인 게임을 아주 많이 반복하면 어떻게 될까요?
다른 질문으로 한 번 더 생각하기
Q1주사위를 한 번 던져 나온 눈 × 1,000원을 받는 게임. 참가비 4,000원이면 할 만할까요?답 보기 ▾
기대 상금 = (1+2+3+4+5+6)/6 × 1,000 = 3,500원입니다. 참가비 4,000원이면 판당 평균 500원 손해예요. 3,500원 이하면 유리한 게임이 됩니다.
Q2확정 9만원 vs 10% 확률로 100만원. 기대값이 큰 쪽은? 당신이라면 어느 쪽을 고르겠어요?답 보기 ▾
기대값은 10만원 vs 9만원으로 도박 쪽이 큽니다. 하지만 90% 확률로 0원이라는 흔들림을 감수해야 하죠. 기대값이 저울이라면, 분산은 저울의 흔들림입니다. 다음 개념(분산)의 예고편이에요.
Q3보험사는 기대값상 손해인 상품을 파는 걸까요?답 보기 ▾
반대입니다. 가입자 입장의 기대값이 음수(보험료 > 기대 보상)이고, 그 차이가 보험사의 몫이에요. 그래도 가입이 합리적인 이유는 '파산급 위험의 제거'라는 기대값 밖의 가치 때문입니다.
답을 열기 전에 반드시 먼저 스스로 답해보세요 — 틀리는 것이 학습의 시작입니다.
다음에는 어떤 질문을 해볼까요?
증명 실험실
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믿기로 한 것 몇 줄에서 출발해 직접 걸어가기 →
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학습 실험실
이 개념은 학년 전체에서 어디쯤일까요?
앞뒤로 무엇이 오는지 순서대로 읽어보기 →
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